Règle de d'AlembertFactorielles
Déterminer la nature des séries suivantes.
- $\sum\frac{n^2}{2^n}$.
- $\sum\frac{n!}{3^n}$.
- $\sum\frac{a^n\,n!}{n^n}$, selon la valeur du réel $a>0$.
Indice 1
Calculer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et simplifier les factorielles.
Indice 2
Pour 3, on retrouve $\left(1+\frac1n\right)^{-n}$. Dans le cas limite $a=e$, comparer $\left(1+\frac1n\right)^n$ à $e$.
Corrigé
-
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)^2}{2n^2}\to\frac12<1$ : la série converge.
-
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}3\to+\infty$ : la série diverge grossièrement.
-
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=a\left(\frac n{n+1}\right)^n=a\left(1+\frac1n\right)^{-n}\to\frac ae$.
- Si $a<e$ : convergence. Si $a>e$ : divergence grossière.
- Si $a=e$ : la règle ne conclut pas. Mais $n\ln\left(1+\frac1n\right)<1$ (car $\ln(1+x)<x$ pour $x>0$), donc $\left(1+\frac1n\right)^n<e$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$. La suite $(u_n)$ est croissante et positive, elle ne tend pas vers $0$ : divergence grossière.
Résultat :
- Converge. 2. Diverge. 3. Converge si et seulement si $a<e$.