Erreurs fréquentes : Limites de suites (Terminale)
Ce chapitre donne les outils pour savoir ce que deviennent les termes d'une suite quand $n$ devient très grand : tendent-ils vers un nombre, vers l'infini, ou n'ont-ils pas de comportement stable ? Ces outils servent à étudier les suites géométriques, les suites définies par récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ et, plus tard, les limites de fonctions.
Écrire « $+\infty-\infty=0$ » ou « $\dfrac{\infty}{\infty}=1$ ».
Ce sont des formes indéterminées : la limite dépend des suites. Par exemple $n^2-n\to+\infty$ alors que $(n+1)-n\to1$. On factorise par le terme dominant ou on utilise la quantité conjuguée.
Affirmer qu'une suite croissante tend vers $+\infty$.
Une suite croissante peut converger : $1-\dfrac1n$ est croissante et tend vers $1$. Elle tend vers $+\infty$ seulement si elle n'est pas majorée.
Dire qu'une suite croissante majorée par $M$ converge vers $M$.
Le théorème de convergence monotone assure l'existence d'une limite $\ell$, avec seulement $\ell\le M$. Exemple : $1-\dfrac1n$ est majorée par $2$ et tend vers $1$.
Utiliser le théorème de comparaison dans le mauvais sens : « $u_n\le v_n$ et $\lim v_n=+\infty$, donc $\lim u_n=+\infty$ ».
Pour obtenir $+\infty$, il faut minorer la suite étudiée par une suite qui tend vers $+\infty$. Une majoration par une suite qui tend vers $+\infty$ ne donne rien : $0\le n$ et pourtant $0$ ne tend pas vers $+\infty$.
Conclure $\ell<\ell'$ à partir de $u_n<v_n$ pour tout $n$.
Le passage à la limite donne seulement $\ell\le\ell'$. Exemple : $0<\dfrac1n$ pour tout $n\ge1$, mais les deux limites valent $0$.
Écrire que $(-2)^n$ tend vers $-\infty$ ou vers $+\infty$.
Pour $q\le-1$, la suite $(q^n)$ n'a pas de limite : ses termes changent de signe à chaque rang. Seul $q>1$ donne $+\infty$.
Résoudre $f(\ell)=\ell$ sans avoir démontré que la suite converge.
L'équation n'a de sens que si la convergence est établie et si $f$ est continue en $\ell$. Avec $u_{n+1}=2u_n$ et $u_0=1$, l'équation donne $0$ alors que la suite tend vers $+\infty$.
Penser que $\left(1+\dfrac1n\right)^n$ tend vers $1$ « car $1+\dfrac1n$ tend vers $1$ ».
L'exposant varie aussi : c'est une forme indéterminée. D'après l'inégalité de Bernoulli, $\left(1+\dfrac1n\right)^n\ge1+n\times\dfrac1n=2$ ; la limite, si elle existe, n'est donc pas $1$.