QCM : Limites de suites (Terminale)
Ce chapitre donne les outils pour savoir ce que deviennent les termes d'une suite quand $n$ devient très grand : tendent-ils vers un nombre, vers l'infini, ou n'ont-ils pas de comportement stable ? Ces outils servent à étudier les suites géométriques, les suites définies par récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ et, plus tard, les limites de fonctions.
Quelle est la limite de la suite définie par $u_n=\dfrac{2n^2-3n}{5n^2+1}$ ?
On factorise par $n^2$ en haut et en bas : $u_n=\dfrac{2-\frac3n}{5+\frac1{n^2}}$. Le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $5$, donc $\lim u_n=\dfrac25$. Le piège est d'écrire $\dfrac{\infty}{\infty}=1$, ou de croire qu'une forme indéterminée signifie « pas de limite ». Elle signifie seulement qu'il faut transformer l'écriture.
Quelle est la limite de la suite définie par $u_n=3\times(-2)^n$ ?
La raison est $q=-2\le-1$. Les termes de rang pair sont positifs et de plus en plus grands, ceux de rang impair sont négatifs et de plus en plus grands en valeur absolue. La suite n'a donc pas de limite. On répond $+\infty$ quand on oublie le signe de la raison. On répond $-\infty$ quand on confond avec le cas $u_0<0$ et $q>1$.
On sait que $u_n\le v_n$ pour tout $n$ et que $\lim v_n=+\infty$. Que peut-on en déduire pour la suite $(u_n)$ ?
Le théorème de comparaison demande de minorer la suite étudiée par une suite qui tend vers $+\infty$. Ici $(u_n)$ est majorée par $(v_n)$, et cela ne donne rien. Par exemple, avec $v_n=n$, la suite $u_n$ peut valoir $0$, $-n$ ou $n$. Elle n'est pas forcément majorée non plus, comme le montre $u_n=n$. Le piège est d'appliquer le théorème dans le mauvais sens.
Une suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $5$. Quelle affirmation est toujours vraie ?
Le théorème de convergence monotone assure que la suite converge. Le passage à la limite dans $u_n\le5$ donne $\ell\le5$, avec une inégalité large. La limite n'est pas forcément le majorant : $1-\frac1n$ est majorée par $5$ et tend vers $1$. Elle peut aussi valoir $5$ : $5-\frac1n$ tend vers $5$. Le choix $\ell<5$ est donc faux. Le choix « tend vers $+\infty$ » vient de l'erreur « croissante implique $+\infty$ ».
Quelle est la limite de $u_n=\sqrt{n^2+n}-n$ ?
On multiplie par la quantité conjuguée : $u_n=\dfrac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$. Pour $n\ge1$, on divise par $n$ : $u_n=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}$, qui tend vers $\dfrac12$. La réponse $0$ vient de l'erreur « $\infty-\infty=0$ ». La réponse $1$ vient d'un oubli du $n$ au dénominateur lors de la simplification.
Quelle est la limite de $u_n=2n+3\cos n$ ?
Pour tout $n$, $\cos n\ge-1$, donc $u_n\ge2n-3$. Or $\lim(2n-3)=+\infty$, donc par comparaison $\lim u_n=+\infty$. Pour viser $+\infty$, une minoration suffit. Il n'est pas nécessaire d'encadrer comme dans le théorème des gendarmes. Croire qu'un terme sans limite empêche toute conclusion est une erreur classique.
Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=u_n^2$. Quelle est la limite de $(u_n)$ ?
Par récurrence, $u_n=2^{2^n}$, ce qui donne $2, 4, 16, 256,\dots$ La suite est croissante, car $u_{n+1}-u_n=u_n(u_n-1)>0$ dès que $u_n\ge2$. Si elle convergeait vers $\ell$, on aurait $\ell\ge2$ et $\ell^2=\ell$, ce qui est impossible. Croissante et non convergente, elle n'est pas majorée, donc elle tend vers $+\infty$. Le piège est de résoudre $\ell=\ell^2$ sans avoir prouvé la convergence.
Quelle est la limite de $S_n=1+\dfrac13+\dfrac19+\cdots+\left(\dfrac13\right)^n$ ?
On a $S_n=\dfrac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{1-\frac13}=\dfrac32\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right)$. Comme $-1<\frac13<1$, $\left(\frac13\right)^{n+1}$ tend vers $0$, donc $\lim S_n=\dfrac32$. La réponse $+\infty$ vient de l'idée fausse qu'une somme d'une infinité de termes positifs est forcément infinie. La réponse $\frac34$ vient d'une erreur de signe : $\dfrac1{1+q}$ au lieu de $\dfrac1{1-q}$.
Dans laquelle des situations suivantes obtient-on une forme indéterminée ?
Le produit $0\times\infty$ est l'une des quatre formes indéterminées, avec $\infty-\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac00$. Les autres cas se concluent directement. La somme $+\infty+(+\infty)$ donne $+\infty$. Le quotient d'un réel par l'infini donne $0$. La somme $0+(-\infty)$ donne $-\infty$. On confond souvent $\infty+\infty$, qui est déterminé, avec $\infty-\infty$, qui ne l'est pas.
Pour tout $n$, $u_n<v_n$. Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent respectivement vers $\ell$ et $\ell'$. Que peut-on affirmer ?
Le passage à la limite conserve les inégalités, mais les rend larges : on obtient $\ell\le\ell'$. Avec $u_n=0$ et $v_n=\frac1n$, on a $u_n<v_n$ et pourtant $\ell=\ell'=0$, donc $\ell<\ell'$ est faux en général. Avec $u_n=0$ et $v_n=1$, on a $\ell\neq\ell'$, donc l'égalité n'est pas forcée non plus. Le piège principal est de garder l'inégalité stricte.