Fiche résumé : Limites de suites (Terminale)

Ce chapitre donne les outils pour savoir ce que deviennent les termes d'une suite quand $n$ devient très grand : tendent-ils vers un nombre, vers l'infini, ou n'ont-ils pas de comportement stable ? Ces outils servent à étudier les suites géométriques, les suites définies par récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ et, plus tard, les limites de fonctions.

Limite $+\infty$ : pour tout réel $A$, tous les termes sont dans $]A\,;+\infty[$ à partir d'un certain rang.
Limite finie $\ell$ : tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes à partir d'un certain rang. La limite, si elle existe, est unique.
Références : $n$, $n^k$, $\sqrt n$ tendent vers $+\infty$ ; $\dfrac1n$, $\dfrac1{n^k}$, $\dfrac1{\sqrt n}$ tendent vers $0$.
Formes indéterminées : $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac00$. On factorise par le terme dominant, ou on multiplie par la quantité conjuguée.
Quotient par une suite tendant vers $0$ : conclusion seulement si le dénominateur garde un signe constant.
Comparaison : si $u_n\le v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim u_n=+\infty$, alors $\lim v_n=+\infty$ (démontré). Si $\lim v_n=-\infty$, alors $\lim u_n=-\infty$.
Gendarmes : si $u_n\le v_n\le w_n$ et $\lim u_n=\lim w_n=\ell$, alors $\lim v_n=\ell$.
Passage à la limite : $u_n\le v_n$ donne $\ell\le\ell'$ (inégalité large).
Bernoulli : pour $a>0$, $(1+a)^n\ge1+na$ (récurrence).
Suite $(q^n)$ : $q>1$ donne $+\infty$ ; $q=1$ donne $1$ ; $-1<q<1$ donne $0$ ; $q\le-1$ : pas de limite.
Somme géométrique : $1+q+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q\neq1$ ; elle tend vers $\dfrac1{1-q}$ si $-1<q<1$.
Convergence monotone (admis) : croissante et majorée, ou décroissante et minorée, implique convergente. La limite n'est pas forcément le majorant.
Croissante non majorée : tend vers $+\infty$ (démontré). Décroissante non minorée : tend vers $-\infty$.
Croissante convergente : tous les termes sont inférieurs ou égaux à la limite.
Suite $u_{n+1}=f(u_n)$ : récurrence sur $a\le u_n\le u_{n+1}\le b$, puis convergence monotone, puis $f(\ell)=\ell$ si $f$ est continue en $\ell$, avec $a\le\ell\le b$.