Succession d'épreuves indépendantes, loi binomiale
Ce chapitre fait partie du programme de Terminale.
Ce chapitre donne un modèle pour les expériences aléatoires répétées dans les mêmes conditions : lancers, tirages avec remise, contrôles de pièces, sondages. La loi binomiale permet de calculer la probabilité d'obtenir un nombre donné de succès et de répondre à des questions de seuil du type « combien d'essais faut-il pour être presque sûr de réussir au moins une fois ».
Prérequis
- Probabilités conditionnelles, arbres pondérés, formule des probabilités totales (1re).
- Indépendance de deux événements : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
- Variable aléatoire réelle, loi, espérance, variance et écart type (1re).
- Combinaisons et coefficients binomiaux $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ (chapitre de dénombrement).
- Fonction logarithme népérien et résolution d'inéquations du type $q^n\leqslant s$.
À la fin du chapitre, on sait
- Modéliser une succession d'épreuves indépendantes et la représenter par un arbre ou un produit cartésien.
- Reconnaître une épreuve de Bernoulli, un schéma de Bernoulli et une variable aléatoire de loi binomiale en justifiant chaque condition.
- Démontrer et utiliser la formule $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
- Calculer $P(X\leqslant k)$, $P(X\geqslant k)$, $P(a\leqslant X\leqslant b)$ à la main ou à la calculatrice.
- Connaître et interpréter l'espérance, la variance et l'écart type d'une loi binomiale.
- Résoudre un problème de seuil par le calcul (logarithme), par la calculatrice ou par un algorithme en Python.
1.1. Succession d'épreuves indépendantes
On réalise plusieurs expériences aléatoires les unes après les autres : lancer une pièce puis un dé, tirer trois fois une boule dans une urne en la remettant à chaque fois, etc. On dit que les épreuves sont indépendantes lorsque le résultat de l'une n'influence pas les probabilités des résultats des autres. Il faut alors un modèle qui décrit l'expérience globale.
Univers d'une succession d'épreuves
On réalise $n$ épreuves successives d'univers respectifs $\Omega_1,\ \Omega_2,\ \dots,\ \Omega_n$. Une issue de l'expérience globale est une liste ordonnée $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ où $x_i$ est l'issue de la $i$-ième épreuve. L'univers de l'expérience globale est le produit cartésien $$\Omega=\Omega_1\times\Omega_2\times\dots\times\Omega_n.$$
Épreuves indépendantes
Les $n$ épreuves sont dites indépendantes lorsque, pour toute issue $(x_1,\dots,x_n)$ de $\Omega$ : $$P\big((x_1,x_2,\dots,x_n)\big)=P_1(x_1)\times P_2(x_2)\times\dots\times P_n(x_n),$$ où $P_i$ est la probabilité associée à la $i$-ième épreuve.
Lecture sur un arbre
Une succession de $n$ épreuves indépendantes se représente par un arbre pondéré à $n$ niveaux. Les probabilités portées par les branches d'un niveau sont les mêmes quel que soit le chemin suivi pour arriver à ce niveau. La probabilité d'une issue est le produit des probabilités le long du chemin correspondant.
Une pièce puis un dé
On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à six faces. Les deux lancers sont indépendants.
- $\Omega_1=\{P\,;F\}$, $\Omega_2=\{1,2,3,4,5,6\}$, donc $\Omega=\Omega_1\times\Omega_2$ contient $2\times 6=12$ issues.
- $P\big((P,6)\big)=\dfrac12\times\dfrac16=\dfrac1{12}$.
- L'événement « obtenir Face et un nombre pair » est $\{(F,2),(F,4),(F,6)\}$, de probabilité $3\times\dfrac1{12}=\dfrac14$, ce qui vaut bien $\dfrac12\times\dfrac36$.
Avec remise ou sans remise
Des tirages avec remise dans une urne sont des épreuves indépendantes : la composition de l'urne est la même à chaque tirage.
Des tirages sans remise ne le sont pas. Avec une urne de 3 boules rouges et 2 noires, la probabilité de tirer une rouge au second tirage vaut $\dfrac24$ si la première était rouge et $\dfrac34$ si elle était noire. On ne peut pas multiplier des probabilités fixes : il faut des probabilités conditionnelles.
2.2. Épreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli
Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues : l'une appelée succès (notée $S$), de probabilité $p$, l'autre appelée échec (notée $\overline{S}$), de probabilité $1-p$. Le réel $p\in[0\,;1]$ est le paramètre de l'épreuve.
Loi de Bernoulli
La variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ :
| $k$ | $0$ | $1$ |
|---|---|---|
| $P(X=k)$ | $1-p$ | $p$ |
Espérance et variance d'une loi de Bernoulli
Si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, alors $$E(X)=p\qquad\text{et}\qquad V(X)=p(1-p).$$
Espérance et variance d'une loi de Bernoulli
Par définition de l'espérance : $$E(X)=0\times(1-p)+1\times p=p.$$ Par la formule de König-Huygens, $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$. Comme $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$, on a $X^2=X$, donc $E(X^2)=E(X)=p$. D'où $$V(X)=p-p^2=p(1-p).$$
Obtenir un six
On lance un dé équilibré. On appelle succès « obtenir 6 ». C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac16$. La variable $X$ qui vaut $1$ si on obtient 6 et $0$ sinon vérifie $$E(X)=\frac16,\qquad V(X)=\frac16\times\frac56=\frac5{36}.$$
Le choix du succès
Le mot « succès » ne porte aucun jugement : c'est simplement l'issue que l'on compte. Dans un contrôle qualité, le « succès » peut très bien être « la pièce est défectueuse ». Il faut toujours écrire clairement ce que l'on appelle succès avant de donner $p$.
3.3. Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques (même paramètre $p$) et indépendantes. Une issue est une liste de $n$ lettres $S$ ou $\overline{S}$, par exemple $(S,\overline{S},S)$ pour $n=3$.
Loi binomiale
Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, la variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n,p)$. Elle prend les valeurs entières $0,1,\dots,n$.
Coefficients binomiaux et chemins
Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves, le nombre de chemins qui comportent exactement $k$ succès est $\binom{n}{k}$ : choisir un tel chemin revient à choisir les $k$ rangs des succès parmi les $n$ rangs possibles.
Rappels utiles, pour $0\leqslant k\leqslant n$ : $$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1,\qquad \binom{n}{1}=n,\qquad \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},\qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$ et, pour $0\leqslant k\leqslant n-1$, la relation de Pascal $$\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}.$$
Probabilité de $k$ succès
Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, alors pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$ : $$P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}.$$
Expression de la probabilité de $k$ succès (démonstration exigible)
Soit $k$ un entier entre $0$ et $n$.
- L'événement $\{X=k\}$ est la réunion des issues (chemins de l'arbre) comportant exactement $k$ succès et donc $n-k$ échecs. Ces issues sont deux à deux distinctes, donc $P(X=k)$ est la somme de leurs probabilités.
- Les épreuves étant indépendantes, la probabilité d'une telle issue est le produit des probabilités de ses $n$ composantes : $k$ facteurs égaux à $p$ et $n-k$ facteurs égaux à $1-p$. Chacune de ces issues a donc la même probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$.
- Une telle issue est entièrement déterminée par l'ensemble des rangs où se trouvent les succès, qui est une partie à $k$ éléments de $\{1,2,\dots,n\}$. Il y a donc $\binom{n}{k}$ issues de ce type.
En conclusion : $$P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}.$$
Trois lancers francs
Une joueuse réussit chaque lancer franc avec probabilité $0{,}8$, indépendamment des autres. Elle en tire 3. Le nombre $X$ de paniers suit $\mathcal{B}(3\,;0{,}8)$.
- $P(X=3)=0{,}8^3=0{,}512$.
- $P(X=2)=\binom32\times0{,}8^2\times0{,}2=3\times0{,}64\times0{,}2=0{,}384$. Les trois chemins sont $(S,S,\overline S)$, $(S,\overline S,S)$, $(\overline S,S,S)$.
- $P(X=1)=3\times0{,}8\times0{,}2^2=0{,}096$.
- $P(X=0)=0{,}2^3=0{,}008$.
Vérification : $0{,}512+0{,}384+0{,}096+0{,}008=1$.
Loi complète de $\mathcal{B}(4\,;0{,}3)$
Avec $n=4$ et $p=0{,}3$, donc $1-p=0{,}7$ :
| $k$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\binom4k$ | $1$ | $4$ | $6$ | $4$ | $1$ |
| $P(X=k)$ | $0{,}2401$ | $0{,}4116$ | $0{,}2646$ | $0{,}0756$ | $0{,}0081$ |
Par exemple $P(X=2)=6\times0{,}3^2\times0{,}7^2=6\times0{,}09\times0{,}49=0{,}2646$. La somme des probabilités vaut bien $1$.
Justifier qu'une variable suit une loi binomiale
Pour justifier que $X$ suit une loi binomiale, on rédige en trois points :
- Épreuve de Bernoulli : on décrit l'épreuve élémentaire, on dit ce qu'est le succès et on donne sa probabilité $p$.
- Répétition identique et indépendante : on dit que cette épreuve est répétée $n$ fois, de façon identique et indépendante (en citant l'argument de l'énoncé : tirage avec remise, « on admet que… », population assez grande assimilée à des tirages avec remise).
- Comptage : $X$ compte le nombre de succès.
Conclusion : « $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=\dots$ et $p=\dots$ ».
Calcul en Python
Le module math fournit comb(n, k), qui renvoie $\binom{n}{k}$. Une fonction qui calcule $P(X=k)$ s'écrit :
from math import comb
def proba(n, p, k):
return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
Par exemple proba(4, 0.3, 2) renvoie $0{,}2646$ (à l'arrondi machine près).
4.4. Calculs de probabilités cumulées
Événements usuels
Si $X$ suit $\mathcal{B}(n,p)$ et $k$, $a$, $b$ sont des entiers avec $1\leqslant a\leqslant b\leqslant n$ :
- $P(X\leqslant k)=P(X=0)+P(X=1)+\dots+P(X=k)$ ;
- $P(X\geqslant a)=1-P(X\leqslant a-1)$ ;
- $P(a\leqslant X\leqslant b)=P(X\leqslant b)-P(X\leqslant a-1)$ ;
- $P(X\geqslant1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n$.
Utiliser la calculatrice
Les calculatrices proposent deux fonctions :
- la probabilité ponctuelle $P(X=k)$ (souvent notée « BinomFdP » ou « binompdf ») ;
- la probabilité cumulée $P(X\leqslant k)$ (souvent notée « BinomFRép » ou « binomcdf »).
Pour tout autre événement, on se ramène à des $P(X\leqslant\dots)$ par les formules ci-dessus, en faisant très attention au « $-1$ » : $\{X\geqslant a\}$ est le contraire de $\{X\leqslant a-1\}$, car $X$ ne prend que des valeurs entières. Sur une copie, on écrit la formule utilisée, puis le résultat arrondi demandé.
Dix lancers d'une pièce équilibrée
On lance 10 fois une pièce équilibrée et on compte le nombre $X$ de Pile : $X$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}5)$. Ici $P(X=k)=\binom{10}{k}\times0{,}5^{10}=\dfrac{\binom{10}{k}}{1024}$.
- $P(X\leqslant3)=\dfrac{1+10+45+120}{1024}=\dfrac{176}{1024}=0{,}171875$.
- $P(X\geqslant8)=\dfrac{45+10+1}{1024}=\dfrac{56}{1024}=0{,}0546875$.
- $P(3\leqslant X\leqslant6)=P(X\leqslant6)-P(X\leqslant2)=\dfrac{848-56}{1024}=\dfrac{792}{1024}\approx0{,}7734$.
Au moins un succès
Une ampoule est défectueuse avec probabilité $0{,}2$. On en teste 10, de façon indépendante, et $X$ compte les ampoules défectueuses : $X$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}2)$. $$P(X\geqslant1)=1-P(X=0)=1-0{,}8^{10}\approx1-0{,}1074=0{,}8926.$$ Passer par l'événement contraire évite de calculer et d'additionner dix probabilités.
5.5. Espérance, variance et écart type
Espérance, variance et écart type de la loi binomiale
Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, alors $$E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.$$
Par décomposition en somme de variables de Bernoulli
Pour $i$ de $1$ à $n$, on note $X_i$ la variable qui vaut $1$ si la $i$-ième épreuve est un succès et $0$ sinon. Chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, donc $E(X_i)=p$ et $V(X_i)=p(1-p)$.
Le nombre de succès est la somme des $X_i$ : $$X=X_1+X_2+\dots+X_n.$$
- Par linéarité de l'espérance : $E(X)=E(X_1)+\dots+E(X_n)=np$.
- Les épreuves étant indépendantes, les variables $X_1,\dots,X_n$ sont indépendantes, et la variance d'une somme de variables indépendantes est la somme des variances : $V(X)=V(X_1)+\dots+V(X_n)=np(1-p)$.
- Enfin $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}$.
La linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance pour des variables indépendantes sont établies dans le chapitre « Sommes de variables aléatoires ».
Contrôle de 50 pièces
Dans une production, $20\,\%$ des pièces présentent un défaut. On prélève 50 pièces, la production étant assez grande pour assimiler le prélèvement à 50 tirages avec remise. Le nombre $X$ de pièces défectueuses suit $\mathcal{B}(50\,;0{,}2)$. $$E(X)=50\times0{,}2=10,\qquad V(X)=50\times0{,}2\times0{,}8=8,\qquad\sigma(X)=\sqrt8=2\sqrt2\approx2{,}83.$$ Interprétation : en répétant un grand nombre de fois ce prélèvement, on trouve en moyenne 10 pièces défectueuses par lot de 50, avec des écarts typiques de l'ordre de 3 pièces autour de cette moyenne.
Allure de la loi
Les probabilités $P(X=k)$ sont les plus grandes pour les valeurs de $k$ proches de $np$. La loi est symétrique lorsque $p=0{,}5$ (car $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$). L'espérance $np$ n'est pas forcément un entier : avec $n=10$ et $p=\frac16$, $E(X)=\frac{10}6\approx1{,}67$, valeur que $X$ ne prend jamais.
Utiliser l'espérance pour un gain
Un joueur paie $3$ euros pour lancer 6 fois un dé équilibré ; il reçoit $2$ euros par six obtenu. Le nombre $N$ de six suit $\mathcal{B}\left(6\,;\frac16\right)$, donc $E(N)=1$. Le gain algébrique est $G=2N-3$ et, par linéarité, $E(G)=2E(N)-3=-1$. En moyenne, le joueur perd 1 euro par partie.
6.6. Problèmes de seuil
On rencontre deux grandes familles de problèmes de seuil :
- seuil sur $n$ : combien d'épreuves faut-il réaliser pour qu'une probabilité dépasse une valeur donnée ;
- seuil sur $k$ : pour $n$ et $p$ fixés, quel est le plus petit entier $k$ tel que $P(X\leqslant k)$ dépasse une valeur donnée.
Seuil sur $n$ par le logarithme
Pour trouver le plus petit $n$ tel que $P(X\geqslant1)\geqslant s$ (avec $0<s<1$) :
- On écrit $P(X\geqslant1)=1-(1-p)^n$.
- On résout $1-(1-p)^n\geqslant s$, soit $(1-p)^n\leqslant1-s$.
- La fonction $\ln$ étant strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ : $n\ln(1-p)\leqslant\ln(1-s)$.
- Comme $0<1-p<1$, on a $\ln(1-p)<0$ : en divisant, le sens de l'inégalité change : $n\geqslant\dfrac{\ln(1-s)}{\ln(1-p)}$.
- On conclut avec le plus petit entier supérieur ou égal à ce quotient.
Détecter au moins un défaut
Un composant est défectueux avec probabilité $0{,}05$. Combien de composants faut-il tester, de façon indépendante, pour que la probabilité d'en trouver au moins un défectueux soit au moins $0{,}99$ ?
Le nombre $X$ de composants défectueux parmi $n$ suit $\mathcal{B}(n\,;0{,}05)$. $$\begin{aligned}P(X\geqslant1)\geqslant0{,}99&\iff1-0{,}95^n\geqslant0{,}99\\&\iff0{,}95^n\leqslant0{,}01\\&\iff n\ln(0{,}95)\leqslant\ln(0{,}01)\\&\iff n\geqslant\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}95)}\quad\text{car }\ln(0{,}95)<0.\end{aligned}$$ Or $\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}95)}\approx89{,}78$. Il faut donc tester au moins 90 composants. Contrôle : $0{,}95^{89}\approx0{,}0104>0{,}01$ et $0{,}95^{90}\approx0{,}0099\leqslant0{,}01$.
Seuil sur $n$ par un algorithme
Quand l'inéquation ne se résout pas par le calcul, on teste les valeurs de $n$ une par une avec une boucle « tant que ». Pour le problème précédent :
def seuil(p, s):
n = 1
while 1 - (1 - p)**n < s:
n = n + 1
return n
L'appel seuil(0.05, 0.99) renvoie 90. La boucle s'arrête dès que la condition de seuil est atteinte : le $n$ renvoyé est bien le plus petit qui convient. On peut aussi utiliser le tableau de valeurs de la calculatrice.
Seuil sur $k$ avec la calculatrice
Pour trouver le plus petit entier $k$ tel que $P(X\leqslant k)\geqslant s$ :
- On affiche le tableau des valeurs de $P(X\leqslant k)$ pour $k=0,1,2,\dots$ (fonction cumulée).
- On repère la première valeur de $k$ pour laquelle le résultat atteint ou dépasse $s$.
- Sur la copie, on écrit les deux valeurs encadrantes : $P(X\leqslant k-1)<s$ et $P(X\leqslant k)\geqslant s$.
Prévoir le nombre de menus
Un traiteur sert 10 clients. Chacun choisit le menu A avec probabilité $0{,}5$, indépendamment des autres. Le nombre $X$ de menus A demandés suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}5)$. Combien de menus A préparer pour que la probabilité de satisfaire tous les clients qui le demandent soit au moins $0{,}95$ ?
On cherche le plus petit $k$ tel que $P(X\leqslant k)\geqslant0{,}95$. Valeurs cumulées :
| $k$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X\leqslant k)$ | $\approx0{,}6230$ | $\approx0{,}8281$ | $\approx0{,}9453$ | $\approx0{,}9893$ |
Comme $P(X\leqslant7)\approx0{,}9453<0{,}95$ et $P(X\leqslant8)\approx0{,}9893\geqslant0{,}95$, il faut préparer 8 menus A.
Intervalle contenant $X$ avec une probabilité donnée
Pour déterminer un intervalle $[a\,;b]$ tel que $P(a\leqslant X\leqslant b)\geqslant1-\alpha$, une démarche classique consiste à :
- prendre pour $a$ le plus petit entier tel que $P(X\leqslant a)>\dfrac{\alpha}2$ ;
- prendre pour $b$ le plus petit entier tel que $P(X\leqslant b)\geqslant1-\dfrac{\alpha}2$.
Avec $X\sim\mathcal{B}(10\,;0{,}5)$ et $\alpha=0{,}1$ : $P(X\leqslant1)\approx0{,}0107\leqslant0{,}05$ et $P(X\leqslant2)\approx0{,}0547>0{,}05$, donc $a=2$ ; l'exemple précédent donne $b=8$. Alors $P(2\leqslant X\leqslant8)=P(X\leqslant8)-P(X\leqslant1)=\dfrac{1013-11}{1024}\approx0{,}9785\geqslant0{,}9$.