Erreurs fréquentes : Succession d'épreuves indépendantes, loi binomiale (Terminale)
Ce chapitre donne un modèle pour les expériences aléatoires répétées dans les mêmes conditions : lancers, tirages avec remise, contrôles de pièces, sondages. La loi binomiale permet de calculer la probabilité d'obtenir un nombre donné de succès et de répondre à des questions de seuil du type « combien d'essais faut-il pour être presque sûr de réussir au moins une fois ».
Oublier le coefficient binomial et écrire $P(X=k)=p^k(1-p)^{n-k}$.
$p^k(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d'un seul chemin à $k$ succès. Il y a $\binom{n}{k}$ chemins de ce type : $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Seuls $P(X=0)=(1-p)^n$ et $P(X=n)=p^n$ n'ont pas de coefficient visible, car il vaut $1$.
Écrire $P(X\geqslant k)=1-P(X\leqslant k)$.
Le contraire de $\{X\geqslant k\}$ est $\{X\leqslant k-1\}$, puisque $X$ ne prend que des valeurs entières. Donc $P(X\geqslant k)=1-P(X\leqslant k-1)$. De même $P(a\leqslant X\leqslant b)=P(X\leqslant b)-P(X\leqslant a-1)$.
Utiliser une loi binomiale pour des tirages sans remise dans une petite urne.
Sans remise, la composition de l'urne change et les épreuves ne sont pas indépendantes : ce n'est pas un schéma de Bernoulli. On ne peut assimiler un tirage sans remise à un tirage avec remise que si l'énoncé l'indique (population très grande devant l'échantillon).
Ne pas changer le sens de l'inégalité en divisant par $\ln(1-p)$ dans un problème de seuil.
Pour $0<p<1$, on a $0<1-p<1$ donc $\ln(1-p)<0$. Diviser par un nombre négatif change le sens : $n\ln(0{,}95)\leqslant\ln(0{,}01)\iff n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}95)}$.
Arrondir à l'entier le plus proche la solution d'un problème de seuil (répondre 89 au lieu de 90 pour $n\geqslant89{,}78$).
On cherche le plus petit entier qui vérifie l'inégalité : on prend l'entier immédiatement supérieur, et on vérifie les deux valeurs encadrantes.
Confondre variance et écart type, ou écrire $V(X)=np$.
$V(X)=np(1-p)$ et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$. L'écart type s'exprime dans la même unité que $X$, la variance non.
Affirmer qu'une variable suit une loi binomiale sans justification, ou sans préciser le succès.
Il faut nommer l'épreuve de Bernoulli et le succès, donner $p$, dire que l'épreuve est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, et que $X$ compte les succès. Ensuite seulement on écrit $X\sim\mathcal{B}(n,p)$.
Interpréter $E(X)$ comme la valeur la plus probable ou la valeur que $X$ prendra.
$E(X)=np$ est une moyenne sur un grand nombre de répétitions de l'expérience. Elle n'est pas forcément entière et n'est pas forcément une valeur prise par $X$.