Fiche résumé : Succession d'épreuves indépendantes, loi binomiale (Terminale)

Ce chapitre donne un modèle pour les expériences aléatoires répétées dans les mêmes conditions : lancers, tirages avec remise, contrôles de pièces, sondages. La loi binomiale permet de calculer la probabilité d'obtenir un nombre donné de succès et de répondre à des questions de seuil du type « combien d'essais faut-il pour être presque sûr de réussir au moins une fois ».

Épreuves indépendantes : univers $\Omega_1\times\dots\times\Omega_n$ ; la probabilité d'une issue $(x_1,\dots,x_n)$ est le produit $P_1(x_1)\times\dots\times P_n(x_n)$ (produit le long du chemin de l'arbre).
Épreuve de Bernoulli : deux issues, succès de probabilité $p$, échec de probabilité $1-p$. Loi de Bernoulli : $E=p$, $V=p(1-p)$.
Schéma de Bernoulli : $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : $X$ = nombre de succès dans un schéma de Bernoulli, valeurs $0,1,\dots,n$.
Formule (démonstration à connaître) : $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, où $\binom{n}{k}$ est le nombre de chemins à $k$ succès.
Coefficients : $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$, $\binom{n}{1}=n$, $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$, $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$.
Cumuls : $P(X\geqslant a)=1-P(X\leqslant a-1)$ ; $P(a\leqslant X\leqslant b)=P(X\leqslant b)-P(X\leqslant a-1)$ ; $P(X\geqslant1)=1-(1-p)^n$.
Indicateurs : $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$, $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$ (via $X=X_1+\dots+X_n$).
Seuil sur $n$ : $(1-p)^n\leqslant1-s\iff n\geqslant\dfrac{\ln(1-s)}{\ln(1-p)}$ (sens inversé car $\ln(1-p)<0$), puis plus petit entier ; ou boucle while en Python.
Seuil sur $k$ : tableau de $P(X\leqslant k)$ à la calculatrice, premier $k$ qui atteint le seuil, citer les deux valeurs encadrantes.
Rédaction type : « On répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, l'épreuve de Bernoulli dont le succès est … de probabilité $p=\dots$ ; $X$ compte le nombre de succès, donc $X\sim\mathcal{B}(n,p)$. »