QCM : Succession d'épreuves indépendantes, loi binomiale (Terminale)
Ce chapitre donne un modèle pour les expériences aléatoires répétées dans les mêmes conditions : lancers, tirages avec remise, contrôles de pièces, sondages. La loi binomiale permet de calculer la probabilité d'obtenir un nombre donné de succès et de répondre à des questions de seuil du type « combien d'essais faut-il pour être presque sûr de réussir au moins une fois ».
La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5\,;0{,}4)$. Que vaut $P(X=2)$ ?
$P(X=2)=\binom52\times0{,}4^2\times0{,}6^3=10\times0{,}16\times0{,}216=0{,}3456$. Le choix $0{,}03456$ oublie le coefficient $\binom52=10$ : c'est la probabilité d'un seul chemin. Le choix $0{,}2304$ vient d'une inversion des exposants : $10\times0{,}4^3\times0{,}6^2$. Le choix $0{,}16$ ne garde que $p^2$.
La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;p)$. Quelle égalité est vraie ?
$X$ ne prend que des valeurs entières, donc le contraire de $\{X\geqslant3\}$ est $\{X\leqslant2\}$. Le piège principal est d'écrire $1-P(X\leqslant3)$, ce qui retire à tort $P(X=3)$. La quatrième égalité fait la même erreur, et $1-P(X<2)$ compte en trop $P(X=2)$.
Dans quelle situation la variable aléatoire décrite suit-elle une loi binomiale ?
Les 20 lancers sont des épreuves de Bernoulli identiques (succès « obtenir 6 », $p=\frac16$) et indépendantes, et la variable compte les succès : elle suit $\mathcal{B}\left(20\,;\frac16\right)$. Les tirages sans remise dans une petite urne ne sont pas indépendants, c'est l'erreur la plus courante. Le rang du premier six n'est pas un nombre de succès et n'est pas borné. La somme des points n'est pas un comptage de succès.
La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(40\,;0{,}25)$. Quelles sont son espérance et sa variance ?
$E(X)=np=40\times0{,}25=10$ et $V(X)=np(1-p)=10\times0{,}75=7{,}5$. Écrire $V(X)=np$ est une confusion fréquente. $\sqrt{7{,}5}\approx2{,}74$ est l'écart type, pas la variance. Le dernier choix intervertit les deux formules.
On répète de façon indépendante une épreuve dont la probabilité de succès est $0{,}1$. Quel est le plus petit nombre $n$ d'épreuves pour lequel la probabilité d'obtenir au moins un succès est supérieure ou égale à $0{,}95$ ?
On résout $1-0{,}9^n\geqslant0{,}95$, soit $0{,}9^n\leqslant0{,}05$, soit $n\ln(0{,}9)\leqslant\ln(0{,}05)$, donc $n\geqslant\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}9)}\approx28{,}43$ car $\ln(0{,}9)<0$. Le plus petit entier est $29$ : $0{,}9^{28}\approx0{,}052>0{,}05$ et $0{,}9^{29}\approx0{,}047$. Répondre $28$ revient à arrondir à l'entier le plus proche. Répondre $1$ vient de l'oubli du changement de sens ($n\leqslant28{,}43$). Répondre $2$ vient de l'usage de $0{,}1^n$ au lieu de $0{,}9^n$.
On lance 4 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 fois Pile ?
Le nombre de Pile suit $\mathcal{B}(4\,;0{,}5)$, donc $P(X=2)=\binom42\times0{,}5^4=\frac6{16}=\frac38$. Le choix $\frac1{16}$ ne compte qu'un seul chemin, sans le coefficient binomial. Le choix $\frac12$ vient de l'intuition « la moitié des lancers », qui confond valeur moyenne et probabilité. Le choix $\frac4{16}$ utilise $\binom41=4$ au lieu de $\binom42=6$.
Une pièce est défectueuse avec probabilité $0{,}1$. On contrôle 8 pièces de façon indépendante. Quelle est, arrondie à $10^{-4}$, la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse ?
Le nombre $X$ de pièces défectueuses suit $\mathcal{B}(8\,;0{,}1)$ et $P(X\geqslant1)=1-P(X=0)=1-0{,}9^8\approx1-0{,}4305=0{,}5695$. Le choix $0{,}8$ additionne $8\times0{,}1$ comme si les événements étaient incompatibles. $0{,}4305$ est $P(X=0)$, on a oublié de passer au contraire. $1-0{,}1^8$ confond probabilité de succès et d'échec.
La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;p)$. Quel est le coefficient binomial qui apparaît dans $P(X=18)$ ?
$\binom{20}{18}=\binom{20}{2}=\frac{20\times19}{2}=190$. Le choix $380$ oublie de diviser par $2!$ : il compte les choix ordonnés de deux rangs. Les choix $18$ et $20$ confondent le coefficient avec $k$ ou $n$ ; seul $\binom{n}{1}$ vaut $n$.
On lance 10 fois un dé équilibré et on note $X$ le nombre de six obtenus. On a $E(X)=\dfrac{10}6\approx1{,}67$. Quelle interprétation est correcte ?
L'espérance est une moyenne sur un grand nombre de répétitions de l'expérience. Elle n'est pas forcément entière : $X$ ne prend jamais la valeur $1{,}67$, ce qui exclut les deux premiers choix, erreurs fréquentes qui confondent espérance et valeur prise ou valeur la plus probable. Une espérance supérieure à $1$ ne garantit pas un six : $P(X=0)=\left(\frac56\right)^{10}\approx0{,}16$.
La variable $X$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}5)$. On donne $P(X\leqslant5)\approx0{,}6230$, $P(X\leqslant6)\approx0{,}8281$, $P(X\leqslant7)\approx0{,}9453$ et $P(X\leqslant8)\approx0{,}9893$. Quel est le plus petit entier $k$ tel que $P(X\leqslant k)\geqslant0{,}9$ ?
On cherche la première valeur cumulée qui atteint $0{,}9$ : $P(X\leqslant6)\approx0{,}8281<0{,}9$ et $P(X\leqslant7)\approx0{,}9453\geqslant0{,}9$, donc $k=7$. Répondre $6$ revient à prendre la dernière valeur sous le seuil. Répondre $5$ confond le seuil avec l'espérance $np=5$. Répondre $8$ correspond au seuil $0{,}95$, pas au seuil $0{,}9$.