Erreurs fréquentes : Orthogonalité et distances dans l'espace (Terminale)
Ce chapitre étend à l'espace le produit scalaire vu en Première, ce qui permet de démontrer des orthogonalités, de calculer des angles et des longueurs par le calcul. Il fournit les équations cartésiennes de plans et la méthode du projeté orthogonal, utilisée au baccalauréat pour calculer distances, hauteurs et volumes.
Prendre les coefficients d'une équation cartésienne de plan pour un vecteur directeur du plan : « $\mathcal P:\ x+2y-2z+6=0$ est dirigé par $(1;2;-2)$ ».
Les coefficients $(a;b;c)$ de $ax+by+cz+d=0$ donnent un vecteur normal, orthogonal au plan. Un vecteur directeur $\vec v$ du plan vérifie au contraire $\vec v\cdot\vec n=0$, par exemple $(2;-1;0)$ ici.
Conclure qu'une droite est orthogonale à un plan après avoir vérifié l'orthogonalité avec un seul vecteur du plan, ou avec deux vecteurs colinéaires.
La caractérisation exige deux vecteurs non colinéaires du plan (deux droites sécantes). Il faut vérifier les deux produits scalaires et la non-colinéarité.
Confondre « orthogonales » et « perpendiculaires » pour deux droites, ou croire que deux droites orthogonales se coupent forcément.
Deux droites sont orthogonales quand leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux ; elles peuvent ne pas être coplanaires. « Perpendiculaires » signifie orthogonales et sécantes.
Lire $y=2x+1$ ou $x=3$ comme l'équation d'une droite dans l'espace.
En repère de l'espace, toute équation $ax+by+cz+d=0$ avec $(a;b;c)\neq(0;0;0)$ définit un plan, même si une variable n'apparaît pas. Une droite se décrit par une représentation paramétrique (ou par deux équations).
Dans le calcul de distance, donner $MH=|t|$ alors que la droite est dirigée par $\vec n$ non unitaire, ou oublier la valeur absolue et obtenir une distance négative.
$\overrightarrow{MH}=t\vec n$ donne $MH=|t|\times\|\vec n\|$. En cas de doute, calculer $MH$ directement avec les coordonnées de $M$ et $H$.
Utiliser la formule $xx'+yy'+zz'$ dans un repère qui n'est pas orthonormé (par exemple un repère d'un pavé non cubique construit sur ses arêtes).
L'expression analytique du produit scalaire et de la norme n'est valable qu'en base orthonormée. Vérifier d'abord que les vecteurs de base sont unitaires et deux à deux orthogonaux.
Chercher le projeté orthogonal d'un point sur un plan en prenant un point quelconque du plan, ou en dirigeant la droite $\Delta$ par un vecteur du plan.
La droite passant par $M$ et menant à $H$ est dirigée par le vecteur normal $\vec n$. Le point $H$ est l'intersection de cette droite avec le plan.
Croire que si deux plans sont perpendiculaires, toute droite de l'un est orthogonale à toute droite de l'autre.
Deux plans perpendiculaires ont des vecteurs normaux orthogonaux, c'est tout. Dans le cube, les plans $(ABC)$ et $(ABF)$ sont perpendiculaires, mais $(AB)$ est contenue dans les deux.