Fiche résumé : Orthogonalité et distances dans l'espace (Terminale)

Ce chapitre étend à l'espace le produit scalaire vu en Première, ce qui permet de démontrer des orthogonalités, de calculer des angles et des longueurs par le calcul. Il fournit les équations cartésiennes de plans et la méthode du projeté orthogonal, utilisée au baccalauréat pour calculer distances, hauteurs et volumes.

Produit scalaire : $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\widehat{BAC})$ avec $\vec u=\overrightarrow{AB}$, $\vec v=\overrightarrow{AC}$ ; $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$.
Projection : si $H$ est le projeté de $C$ sur $(AB)$, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$.
Règles : symétrie, bilinéarité ; $\|\vec u\pm\vec v\|^2=\|\vec u\|^2\pm2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$.
Polarisation : $\vec u\cdot\vec v=\frac12\left(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\right)=\frac12\left(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\right)$.
En base orthonormée : $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$, $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.
Orthogonalité : $\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0$. Droites orthogonales : vecteurs directeurs orthogonaux. Perpendiculaires : orthogonales et sécantes.
Droite orthogonale à un plan $\iff$ orthogonale à deux droites sécantes du plan $\iff$ $\vec u\cdot\vec v_1=\vec u\cdot\vec v_2=0$ avec $\vec v_1$, $\vec v_2$ non colinéaires dirigeant le plan.
Vecteur normal $\vec n\neq\vec0$ : orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Plan passant par $A$ de vecteur normal $\vec n$ : $\{M:\ \overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\}$.
Équation cartésienne (repère orthonormé) : $ax+by+cz+d=0$ avec $\vec n(a;b;c)$ normal ; $d$ se trouve avec un point du plan.
Plans : parallèles $\iff$ vecteurs normaux colinéaires ; perpendiculaires $\iff$ vecteurs normaux orthogonaux.
Droite et plan : $\vec u\cdot\vec n\neq0$ $\Rightarrow$ sécants (remplacer la représentation paramétrique dans l'équation) ; $\vec u\cdot\vec n=0$ $\Rightarrow$ parallèles.
Projeté sur un plan : droite passant par $M$ dirigée par $\vec n$, intersection avec le plan.
Projeté sur une droite $(A,\vec u)$ : $H(x_A+\alpha t;\dots)$, résoudre $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$.
Théorème : le projeté $H$ est le point du plan (ou de la droite) le plus proche de $M$, car $MN^2=MH^2+HN^2$.
Distance de $M$ à un plan ou une droite : $MH$. Si $\overrightarrow{MH}=t\vec n$, alors $MH=|t|\,\|\vec n\|$.
Hors programme (seulement si donnée) : $d(M,\mathcal P)=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
Tétraèdre : $V=\frac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$, la hauteur étant la distance du sommet au plan de la base.