QCM : Orthogonalité et distances dans l'espace (Terminale)
Ce chapitre étend à l'espace le produit scalaire vu en Première, ce qui permet de démontrer des orthogonalités, de calculer des angles et des longueurs par le calcul. Il fournit les équations cartésiennes de plans et la méthode du projeté orthogonal, utilisée au baccalauréat pour calculer distances, hauteurs et volumes.
Dans une base orthonormée, on considère $\vec u\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}$. Que vaut $\vec u\cdot\vec v$ ?
En base orthonormée, $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'=2\times1+(-1)\times4+3\times2=2-4+6=4$. Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur : multiplier les coordonnées une à une sans les additionner donne le vecteur $(2;-4;6)$, ce qui n'a pas de sens ici. La réponse $12$ vient d'une erreur de signe sur le produit $(-1)\times4$.
L'espace est muni d'un repère orthonormé. Quel vecteur est normal au plan $\mathcal P:\ 2x-y+3z-5=0$ ?
Pour une équation $ax+by+cz+d=0$, le vecteur $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ est normal au plan : ici $(2;-1;3)$. Le terme constant $d=-5$ n'intervient pas dans le vecteur normal. Le vecteur $(1;2;0)$ vérifie $2\times1-1\times2+3\times0=0$ : il est orthogonal au vecteur normal, c'est donc un vecteur directeur du plan, pas un vecteur normal. C'est la confusion classique entre les deux.
Dans un repère orthonormé, quelle est une équation cartésienne du plan passant par $A(1;-2;0)$ et de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$ ?
L'équation est de la forme $3x+y-z+d=0$. Comme $A$ appartient au plan : $3\times1+(-2)-0+d=0$, soit $1+d=0$, donc $d=-1$. On obtient $3x+y-z-1=0$. Contrôle : $3-2-0-1=0$. La réponse $x-2y-1=0$ inverse les rôles du point et du vecteur normal ; $3x+y-z+1=0$ vient d'une erreur de signe en isolant $d$ ; $3x+y-z=0$ oublie de calculer $d$ (ce plan passe par l'origine, pas par $A$).
Soit $ABCDEFGH$ un cube, avec $E$, $F$, $G$, $H$ au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. Les droites $(AB)$ et $(CG)$ sont :
La droite $(CG)$ est parallèle à $(AE)$, et $(AE)\perp(AB)$ : un vecteur directeur de $(CG)$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$, donc les droites sont orthogonales. Elles ne se coupent pas : $(AB)$ rencontre le plan $(BCG)$ seulement en $B$, et $B$ n'est pas sur $(CG)$. Elles ne sont donc pas perpendiculaires (perpendiculaire = orthogonale et sécante). Le piège est de croire que deux droites qui ne se coupent pas ne peuvent pas être orthogonales : dans l'espace, l'orthogonalité ne dépend que des vecteurs directeurs.
Un plan $\mathcal P$ est dirigé par $\vec v_1\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ et $\vec v_2\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ (repère orthonormé). Pour quel vecteur directeur $\vec u$ la droite $d$ est-elle orthogonale à $\mathcal P$ ?
Il faut $\vec u\cdot\vec v_1=0$ et $\vec u\cdot\vec v_2=0$, avec $\vec v_1$, $\vec v_2$ non colinéaires (c'est le cas). Pour $(1;1;1)$ : $1-1+0=0$ et $1+0-1=0$, donc $d\perp\mathcal P$. Les vecteurs $(1;1;0)$ et $(0;0;1)$ sont orthogonaux à $\vec v_1$ mais pas à $\vec v_2$ (produits $1$ et $-1$) : vérifier un seul produit scalaire ne suffit pas. Le vecteur $(1;-1;0)$ est $\vec v_1$ lui-même, donc la droite est parallèle au plan, pas orthogonale.
Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d:\ \begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=3-t\end{cases}$, $t\in\mathbb R$, et le plan $\mathcal P:\ x+y+z-2=0$. L'intersection de $d$ et $\mathcal P$ est :
On remplace : $(1+t)+2t+(3-t)-2=0$, soit $2+2t=0$, donc $t=-1$. En reportant : $x=0$, $y=-2$, $z=4$. Contrôle : $0-2+4-2=0$. Le point $(2;2;2)$ correspond à $t=1$ (erreur de signe en résolvant) et ne vérifie pas l'équation ; $(1;0;3)$ est le point de paramètre $t=0$, pris sans calcul. La droite n'est pas parallèle au plan car $\vec u\cdot\vec n=1+2-1=2\neq0$.
Dans un repère orthonormé, quelle est la distance du point $M(1;2;3)$ au plan $\mathcal P:\ 2x-y+2z+3=0$ ?
La droite passant par $M$ dirigée par $\vec n(2;-1;2)$ est $x=1+2t$, $y=2-t$, $z=3+2t$. En remplaçant : $2+4t-2+t+6+4t+3=0$, soit $9+9t=0$, donc $t=-1$ et $H(-1;3;1)$. Alors $\overrightarrow{MH}=-\vec n$ et $MH=|t|\times\|\vec n\|=1\times\sqrt{4+1+4}=3$. La réponse $1$ oublie que $\vec n$ n'est pas unitaire ($MH=|t|$ au lieu de $|t|\,\|\vec n\|$) ; $-3$ oublie la valeur absolue (une distance est positive) ; $9$ vient de $|t|\times\|\vec n\|^2$.
Dans un repère orthonormé, on note $d$ la droite passant par l'origine $O$ et dirigée par $\vec u\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. Quel est le projeté orthogonal du point $M(2;1;0)$ sur $d$ ?
Un point de $d$ s'écrit $H(t;t;t)$, donc $\overrightarrow{MH}(t-2;t-1;t)$. La condition $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$ donne $3t-3=0$, soit $t=1$ et $H(1;1;1)$. Contrôle : $\overrightarrow{MH}(-1;0;1)$ et $-1+0+1=0$. La réponse $(3;3;3)$ vient de $t=\overrightarrow{OM}\cdot\vec u=3$ sans diviser par $\|\vec u\|^2=3$. Le point $(3;2;1)=M+\vec u$ n'est pas sur $d$ ; $O$ est un point de $d$ mais $\overrightarrow{MO}\cdot\vec u=-3\neq0$.
Dans un repère orthonormé, on considère les plans $\mathcal P:\ x+2y-z+1=0$ et $\mathcal Q:\ 3x-y+z-4=0$. Ces plans sont :
Les vecteurs normaux sont $\vec n(1;2;-1)$ et $\vec n'(3;-1;1)$. Ils ne sont pas colinéaires ($3=3\times1$ mais $-1\neq3\times2$), donc les plans sont sécants. De plus $\vec n\cdot\vec n'=3-2-1=0$ : les vecteurs normaux sont orthogonaux, donc les plans sont perpendiculaires. Le piège est de conclure « parallèles » dès que le produit scalaire est nul : le parallélisme correspond à des vecteurs normaux colinéaires, pas orthogonaux.
Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ de l'espace vérifient $\|\vec u\|=3$, $\|\vec v\|=4$ et $\|\vec u+\vec v\|=6$. Que vaut $\vec u\cdot\vec v$ ?
Par polarisation : $\vec u\cdot\vec v=\frac12\left(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\right)=\frac12(36-9-16)=\frac{11}2$. La réponse $11$ oublie le facteur $\frac12$ (on a $\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$). La réponse $12=3\times4$ suppose à tort que les vecteurs sont colinéaires de même sens (dans ce cas on aurait $\|\vec u+\vec v\|=7$). La réponse $-\frac{11}2$ vient d'une erreur de signe dans la formule.