Erreurs fréquentes : Primitives et équations différentielles (Terminale)

Écrire « la primitive de $f$ » et oublier la constante, ou l'oublier avant d'appliquer une condition initiale.

Une fonction continue sur un intervalle a une infinité de primitives $F+C$. On écrit « une primitive », et on garde $C$ tant qu'une condition ne l'a pas déterminée.

Prendre pour primitive d'un produit le produit des primitives, par exemple $\frac{x^2}{2}e^x$ pour $x\,e^x$.

Il n'existe pas de règle pour le produit. On cherche une forme composée ($u'e^u$, $u'u^n$, …) et on vérifie toujours en dérivant le résultat.

Oublier le coefficient de la composée : écrire $e^{3x}$ comme primitive de $e^{3x}$, ou $\ln(2x+1)$ comme primitive de $\frac1{2x+1}$.

La dérivée de $e^{3x}$ est $3e^{3x}$. Une primitive de $e^{3x}$ est $\frac13e^{3x}$, une primitive de $\frac1{2x+1}$ est $\frac12\ln(2x+1)$ sur $\left]-\frac12;+\infty\right[$.

Lire $a$ et $b$ sans isoler $y'$ : pour $2y'+3y=1$, prendre $a=3$ ou $a=-3$ et $b=1$.

On isole d'abord $y'$ : $y'=-\frac32y+\frac12$. Donc $a=-\frac32$ et $b=\frac12$, et la solution constante est $\frac13$.

Donner $\frac ba$ comme solution constante de $y'=ay+b$, ou écrire les solutions sous la forme $Ce^{ax}+\frac ba$.

La solution constante $k$ vérifie $0=ak+b$, donc $k=-\frac ba$. Résoudre cette petite équation évite l'erreur de signe.

Avec une condition en $x_0\neq0$, par exemple $y(2)=3$, écrire directement $C=3$.

On remplace $x$ par $x_0$ dans la solution générale : $Ce^{2a}+k=3$, puis on isole $C$. On obtient $C=(3-k)e^{-2a}$, pas $3$.

Dans $y'=ay+f$, appliquer la condition initiale à $Ce^{ax}$ seule au lieu de la solution générale $Ce^{ax}+p(x)$.

On écrit d'abord toutes les solutions $Ce^{ax}+p(x)$, puis on impose la condition à cette expression complète.

Utiliser $\ln u$ comme primitive de $\frac{u'}{u}$ sans vérifier que $u>0$ sur l'intervalle.

La formule $\ln u$ exige $u>0$ sur l'intervalle. On précise toujours l'intervalle de travail ; si $u<0$, une primitive est $\ln(-u)$.