Fiche résumé : Primitives et équations différentielles (Terminale)

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à sa dérivée. Elle sert à prévoir l'évolution d'une grandeur (température, charge d'un condensateur, population, quantité de médicament) quand on connaît sa vitesse de variation.

Primitive de $f$ sur un intervalle $I$ : fonction $F$ dérivable sur $I$ avec $F'=f$. Ce sont les solutions de $y'=f$.
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (admis).
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, les primitives sont les $F+C$, $C\in\mathbb R$. Une seule vérifie $F(x_0)=y_0$.
Primitives usuelles : $x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\frac1{x^2}\to-\frac1x$ ; $\frac1{\sqrt x}\to2\sqrt x$ ; $\frac1x\to\ln x$ ($x>0$) ; $e^x\to e^x$ ; $\cos x\to\sin x$ ; $\sin x\to-\cos x$.
Formes composées : $u'u^n\to\frac{u^{n+1}}{n+1}$ ($n\neq-1$) ; $\frac{u'}{u^2}\to-\frac1u$ ; $\frac{u'}{\sqrt u}\to2\sqrt u$ ; $\frac{u'}{u}\to\ln u$ ($u>0$) ; $u'e^u\to e^u$ ; $u'\cos u\to\sin u$ ; $u'\sin u\to-\cos u$.
$f(ax+b)$ a pour primitive $\frac1aF(ax+b)$.
Linéarité : oui. Produit, quotient : pas de règle. Toujours vérifier en dérivant.
$y'=ay$ : solutions $x\mapsto Ce^{ax}$, $C\in\mathbb R$.
$y'=ay+b$ ($a\neq0$) : solution constante $-\frac ba$ (obtenue par $0=ak+b$) ; solutions $x\mapsto Ce^{ax}-\frac ba$.
$y'=ay+f$ : solutions $x\mapsto Ce^{ax}+p(x)$, où $p$ est une solution particulière.
Condition initiale $y(x_0)=y_0$ : une unique solution ; on calcule $C$ sur la solution générale complète.
Si $a<0$, toutes les solutions de $y'=ay+b$ tendent vers $-\frac ba$ en $+\infty$ (équilibre).
Méthode : isoler $y'$, identifier $a$ et $b$, solution constante, solution générale, condition initiale, vérification.
Modèles : refroidissement $\theta'=-k(\theta-\theta_a)$ ; circuit RC $RCu'+u=E$ ; radioactivité $N'=-\lambda N$, demi-vie $\frac{\ln2}{\lambda}$ ; Malthus $P'=rP$ ; perfusion $q'=-kq+d$.