QCM : Primitives et équations différentielles (Terminale)
Une équation différentielle relie une fonction inconnue à sa dérivée. Elle sert à prévoir l'évolution d'une grandeur (température, charge d'un condensateur, population, quantité de médicament) quand on connaît sa vitesse de variation.
Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une primitive de $x\mapsto e^{3x}$ sur $\mathbb R$ ?
La dérivée de $\frac13e^{3x}$ est $\frac13\times3e^{3x}=e^{3x}$. Le piège principal est de garder $e^{3x}$ en oubliant le coefficient de la composée : sa dérivée vaut $3e^{3x}$. La réponse $3e^{3x}$ est la dérivée, pas une primitive. La dernière proposition applique à tort la règle des puissances $x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}$ à l'exponentielle.
Quelles sont les solutions sur $\mathbb R$ de l'équation différentielle $2y'+3y=1$ ?
On isole $y'$ : $y'=-\frac32y+\frac12$, donc $a=-\frac32$ et $b=\frac12$. La solution constante $k$ vérifie $0=-\frac32k+\frac12$, soit $k=\frac13$. Les solutions sont $Ce^{-\frac32x}+\frac13$. Les pièges : lire $a$ et $b$ sans diviser par $2$ (réponse avec $e^{-3x}$), se tromper de signe sur la solution constante ($-\frac13$), ou oublier que $3y$ passe à droite avec un signe moins ($e^{\frac32x}$).
Une primitive de $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ sur $\mathbb R$ est :
Avec $u(x)=x^2+1>0$ et $u'(x)=2x$, $f=\frac{u'}{u}$, donc une primitive est $\ln(x^2+1)$. Vérification : $(\ln(x^2+1))'=\frac{2x}{x^2+1}$. Le facteur $2$ est déjà contenu dans $u'$ : l'ajouter donne $2\ln(x^2+1)$, dont la dérivée est $2f$. Le quotient des primitives n'est pas une primitive du quotient. Enfin $-\frac1u$ est une primitive de $\frac{u'}{u^2}$, pas de $\frac{u'}{u}$.
Quelle est la solution de l'équation $y'=-2y$ vérifiant $y(1)=3$ ?
Les solutions sont $Ce^{-2x}$. La condition donne $Ce^{-2}=3$, soit $C=3e^{2}$, donc $y(x)=3e^{2}e^{-2x}=3e^{2-2x}$. Vérification : $y(1)=3e^0=3$. Le piège principal est d'écrire $C=3$ comme si la condition portait sur $x=0$. La réponse $3e^{-2x-2}$ vient d'une erreur de signe en isolant $C$ ; la troisième ajoute une constante, ce qui ne donne plus une solution de $y'=-2y$.
La solution constante de l'équation $y'=4y-8$ est :
Une constante $k$ a une dérivée nulle : elle est solution si et seulement si $0=4k-8$, soit $k=2$. Vérification : $4\times2-8=0$. La réponse $-2$ vient de la formule $\frac ba$ au lieu de $-\frac ba$ (avec $b=-8$). La réponse $\frac12$ inverse le quotient, la réponse $8$ confond la solution constante avec le coefficient $b$ au signe près.
Une primitive de $f(x)=x\,e^{x^2}$ sur $\mathbb R$ est :
Avec $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$, on écrit $f=\frac12u'e^u$, donc une primitive est $\frac12e^{x^2}$. Vérification : $\left(\frac12e^{x^2}\right)'=\frac12\times2x\,e^{x^2}=x\,e^{x^2}$. La réponse $e^{x^2}$ oublie d'ajuster le coefficient : sa dérivée est $2x\,e^{x^2}$. La réponse $\frac{x^2}{2}e^{x^2}$ multiplie des primitives, ce qui est faux pour un produit. La dernière est la dérivée de $f$, pas une primitive.
Un plat sorti du four à $90\,^\circ\mathrm C$ refroidit dans une pièce à $25\,^\circ\mathrm C$. Sa température, $t$ en minutes, vérifie $\theta'(t)=-0{,}2\,(\theta(t)-25)$ et $\theta(0)=90$. Quelle est l'expression de $\theta(t)$ ?
On écrit $\theta'=-0{,}2\,\theta+5$. La solution constante vérifie $0=-0{,}2k+5$, soit $k=25$. Donc $\theta(t)=Ce^{-0{,}2t}+25$ et $\theta(0)=C+25=90$ donne $C=65$. La réponse $90e^{-0{,}2t}$ résout $\theta'=-0{,}2\,\theta$ en oubliant le terme constant. La réponse $25+90e^{-0{,}2t}$ prend $C=90$ sans tenir compte de la constante $25$ dans la condition initiale : elle donne $\theta(0)=115$. La troisième inverse les rôles de $C$ et de la solution constante.
Un noyau radioactif a pour constante radioactive $\lambda=0{,}05$ par an : $N'(t)=-0{,}05\,N(t)$. Sa demi-vie $T$, en années, vaut :
On a $N(t)=N_0e^{-0{,}05t}$. La demi-vie vérifie $e^{-0{,}05T}=\frac12$, donc $-0{,}05T=\ln\frac12=-\ln2$ et $T=\frac{\ln2}{0{,}05}=20\ln2\approx13{,}9$ ans. La réponse $0{,}05\ln2$ multiplie au lieu de diviser par $\lambda$. La réponse $10=\frac{1}{2\lambda}$ confond « moitié » et division par $2$ sans passer par le logarithme. La réponse négative vient d'une erreur de signe ($\ln\frac12=-\ln2$) ; une durée négative doit alerter.
On considère sur $\mathbb R$ les fonctions $F(x)=\sin^2x$ et $G(x)=-\cos^2x$. Quelle affirmation est vraie ?
En dérivant : $F'(x)=2\sin x\cos x$ et $G'(x)=-2\cos x\times(-\sin x)=2\sin x\cos x$. Ce sont deux primitives de la même fonction, et en effet $F(x)-G(x)=\sin^2x+\cos^2x=1$ : deux primitives sur un intervalle diffèrent d'une constante, elles ne sont pas forcément égales. La dernière proposition confond la différence des primitives (égale à $1$) avec la différence des fonctions dérivées (nulle). La troisième oublie la dérivée de la composée $u^2$.
On considère $(E) : y'=y+2x$ sur $\mathbb R$. La fonction $p(x)=-2x-2$ en est une solution particulière. Quelle est la solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=1$ ?
Vérification de $p$ : $p'(x)=-2$ et $p(x)+2x=-2$. Les solutions de $(E)$ sont $Ce^{x}-2x-2$. La condition $y(0)=C-2=1$ donne $C=3$. Le piège principal est d'appliquer la condition à la seule partie $Ce^x$ : $C=1$, d'où $e^x-2x-2$, qui vaut $-1$ en $0$. La réponse $-e^x+2x+2$ provient d'une erreur de signe sur $p$ ; la réponse $3e^x-2x$ oublie le terme constant de $p$ et n'est pas solution.