Primitives et équations différentielles
Ce chapitre fait partie du programme de Terminale.
Une équation différentielle relie une fonction inconnue à sa dérivée. Elle sert à prévoir l'évolution d'une grandeur (température, charge d'un condensateur, population, quantité de médicament) quand on connaît sa vitesse de variation.
Prérequis
- Dérivées des fonctions de référence : puissances, racine carrée, inverse, exponentielle, logarithme népérien, sinus, cosinus
- Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient et de la composée $x\mapsto g(ax+b)$, puis $x\mapsto v(u(x))$
- Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle
- Propriétés algébriques de l'exponentielle et du logarithme, limites de $e^{x}$ en $+\infty$ et $-\infty$
- Résolution d'équations du type $e^{kx}=c$ avec $c>0$
À la fin du chapitre, on sait
- Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle
- Connaître la définition d'une primitive et savoir que deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante (démonstration exigible)
- Calculer une primitive à l'aide du tableau des primitives usuelles et des formes composées
- Déterminer la primitive qui prend une valeur donnée en un point
- Résoudre $y'=ay$ et $y'=ay+b$ (démonstrations exigibles), puis trouver la solution vérifiant une condition initiale
- Résoudre $y'=ay+f$ quand une solution particulière est fournie ou se cherche sous une forme imposée
- Modéliser une situation de physique ou de biologie par une équation différentielle et interpréter la solution
1.Équations différentielles et primitives
Équation différentielle
Une équation différentielle est une égalité qui relie une fonction inconnue $y$, dérivable, à sa dérivée $y'$ (et éventuellement à la variable).
Une fonction $g$ est solution de l'équation sur un intervalle $I$ si $g$ est dérivable sur $I$ et si l'égalité est vraie pour $y=g$ en tout $x$ de $I$.
Résoudre l'équation sur $I$, c'est trouver toutes ses solutions sur $I$.
Vérifier qu'une fonction est solution
On considère l'équation $(E) : y'=2y-4$ sur $\mathbb R$ et la fonction $g(x)=3e^{2x}+2$.
On a $g'(x)=6e^{2x}$ et $2g(x)-4=6e^{2x}+4-4=6e^{2x}$.
Donc $g'(x)=2g(x)-4$ pour tout réel $x$ : $g$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb R$.
En revanche, $h(x)=e^{2x}+1$ n'est pas solution : $h'(x)=2e^{2x}$ alors que $2h(x)-4=2e^{2x}-2$.
Primitive d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $$F'(x)=f(x)\quad\text{pour tout } x\in I.$$ Autrement dit, les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les solutions sur $I$ de l'équation différentielle $y'=f$.
Premiers exemples
- $F(x)=x^3$ est une primitive de $f(x)=3x^2$ sur $\mathbb R$, car $F'(x)=3x^2$.
- $G(x)=x^3+7$ en est une autre : la constante disparaît en dérivant.
- $H(x)=\ln x$ est une primitive de $x\mapsto \frac1x$ sur $]0;+\infty[$.
Pour vérifier qu'une fonction est une primitive, il suffit de la dériver.
Existence (admis)
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
Ce résultat est admis ici. Il sera relié à l'intégrale dans le chapitre Intégration.
Ensemble des primitives
Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
- Les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $x\mapsto F(x)+C$, où $C$ est une constante réelle.
- Pour tout $x_0\in I$ et tout réel $y_0$, il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$ telle que $G(x_0)=y_0$.
Deux primitives diffèrent d'une constante
Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
Les fonctions $F+C$ sont des primitives. Pour une constante $C$, la fonction $x\mapsto F(x)+C$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée vaut $F'(x)+0=f(x)$.
Il n'y en a pas d'autres. Soit $G$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$. La fonction $D=G-F$ est dérivable sur $I$ et $$D'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0\quad\text{pour tout } x\in I.$$ Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle : il existe un réel $C$ tel que $D(x)=C$, c'est-à-dire $G(x)=F(x)+C$ pour tout $x\in I$.
Condition initiale. Les primitives sont les $F+C$. La condition $F(x_0)+C=y_0$ équivaut à $C=y_0-F(x_0)$ : une seule valeur de $C$ convient, d'où l'existence et l'unicité de $G$.
Le mot intervalle compte
Sur une réunion d'intervalles, le résultat tombe. Par exemple, $x\mapsto -\frac1x$ est une primitive de $x\mapsto\frac1{x^2}$ sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$, et on peut ajouter une constante différente sur chacun des deux morceaux. On précise donc toujours l'intervalle de travail.
Primitive vérifiant une condition
On cherche la primitive $F$ de $f(x)=e^{2x}+x$ sur $\mathbb R$ telle que $F(0)=1$.
Les primitives de $f$ sont les fonctions $x\mapsto \frac12e^{2x}+\frac12x^2+C$ (on vérifie en dérivant : $e^{2x}+x$).
$F(0)=\frac12+0+C=1$ donne $C=\frac12$.
Conclusion : $F(x)=\frac12e^{2x}+\frac12x^2+\frac12$.
2.Primitives usuelles et opérations
Primitives des fonctions de référence
Chaque ligne se vérifie en dérivant la colonne de droite. $C$ désigne une constante réelle.
| $f(x)$ | primitives $F(x)$ | intervalle |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $kx+C$ | $\mathbb R$ |
| $x^n$, $n\in\mathbb N$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ | $\mathbb R$ |
| $\frac1{x^2}$ | $-\frac1x+C$ | $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$ |
| $\frac1{x^n}$, $n\geqslant 2$ | $-\frac{1}{(n-1)x^{n-1}}+C$ | $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$ |
| $\frac1{\sqrt x}$ | $2\sqrt x+C$ | $]0;+\infty[$ |
| $\frac1x$ | $\ln x+C$ | $]0;+\infty[$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ | $\mathbb R$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ | $\mathbb R$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ | $\mathbb R$ |
Linéarité
Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ sur $I$ et si $k$ est un réel, alors :
- $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$ ;
- $kF$ est une primitive de $kf$ sur $I$.
Cela découle de la linéarité de la dérivation : $(F+G)'=f+g$ et $(kF)'=kf$.
Pas de règle pour le produit ni le quotient
Une primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives. Par exemple, $x\mapsto x\,e^x$ n'a pas pour primitive $\frac{x^2}{2}e^x$ : la dérivée de cette dernière vaut $x\,e^x+\frac{x^2}{2}e^x$.
Pour un produit ou un quotient, on cherche à reconnaître une forme composée (ci-dessous), ou on suit les indications de l'énoncé.
Formes composées
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Chaque formule vient de la dérivée d'une composée $(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u'$.
| fonction | une primitive | condition |
|---|---|---|
| $u'\,u^n$, $n\in\mathbb Z$, $n\neq -1$ | $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ | $u$ ne s'annule pas sur $I$ si $n<0$ |
| $\frac{u'}{u^2}$ | $-\frac1u$ | $u$ ne s'annule pas sur $I$ |
| $\frac{u'}{\sqrt u}$ | $2\sqrt u$ | $u>0$ sur $I$ |
| $\frac{u'}{u}$ | $\ln u$ | $u>0$ sur $I$ |
| $u'\,e^u$ | $e^u$ | |
| $u'\cos u$ | $\sin u$ | |
| $u'\sin u$ | $-\cos u$ |
Cas particulier très fréquent : si $F$ est une primitive de $f$, une primitive de $x\mapsto f(ax+b)$ (avec $a\neq0$) est $x\mapsto \frac1a F(ax+b)$. Par exemple, une primitive de $e^{3x}$ est $\frac13e^{3x}$.
Calculer une primitive
- Décomposer $f$ en somme de termes simples (linéarité).
- Pour chaque terme, reconnaître une fonction de référence ou une forme composée : repérer $u$, calculer $u'$.
- Ajuster la constante multiplicative : écrire le terme sous la forme $k\times(\text{forme exacte})$.
- Écrire la primitive et préciser l'intervalle.
- Vérifier en dérivant. Cette étape prend dix secondes et évite la plupart des erreurs.
Exemples corrigés
- $f(x)=3x^2-4x+5$ sur $\mathbb R$ : $F(x)=x^3-2x^2+5x$.
- $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ sur $\mathbb R$ : c'est $\frac{u'}{u}$ avec $u(x)=x^2+1>0$, donc $F(x)=\ln(x^2+1)$.
- $f(x)=x\,e^{x^2}$ sur $\mathbb R$ : avec $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$, on écrit $f=\frac12\,u'e^u$, donc $F(x)=\frac12e^{x^2}$.
- $f(x)=(2x+1)^3$ sur $\mathbb R$ : avec $u(x)=2x+1$, $u'=2$, on écrit $f=\frac12\,u'u^3$, donc $F(x)=\frac12\times\frac{(2x+1)^4}{4}=\frac{(2x+1)^4}{8}$.
- $f(x)=\frac{1}{(3x-1)^2}$ sur $\left]\frac13;+\infty\right[$ : avec $u(x)=3x-1$, $u'=3$, $f=\frac13\,\frac{u'}{u^2}$, donc $F(x)=-\frac{1}{3(3x-1)}$.
- $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ sur $\mathbb R$ : avec $u(x)=x^2+4>0$, $u'(x)=2x$, $f=\frac12\,\frac{u'}{\sqrt u}$, donc $F(x)=\frac12\times2\sqrt{x^2+4}=\sqrt{x^2+4}$.
- $f(x)=\cos(2x)$ sur $\mathbb R$ : $F(x)=\frac12\sin(2x)$.
- $f(x)=\frac{1}{2x+1}$ sur $\left]-\frac12;+\infty\right[$ : $f=\frac12\,\frac{u'}{u}$ avec $u(x)=2x+1>0$, donc $F(x)=\frac12\ln(2x+1)$.
Vérification du quatrième exemple : $\left(\frac{(2x+1)^4}{8}\right)'=\frac{4\times2\,(2x+1)^3}{8}=(2x+1)^3$.
Quand $u$ est négative
Si $u<0$ sur $I$, une primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln(-u)$, car $(\ln(-u))'=\frac{-u'}{-u}=\frac{u'}{u}$. Par exemple, une primitive de $\frac1x$ sur $]-\infty;0[$ est $\ln(-x)$. La notation $\ln|u|$ qui regroupe les deux cas est hors programme ; on peut la rencontrer dans des livres de prépa.
3.L'équation y' = ay
Dans l'équation $y'=ay$, avec $a$ réel, la vitesse de variation de la grandeur est proportionnelle à la grandeur elle-même. C'est le modèle d'une population qui croît sans contrainte, d'un capital à intérêts continus ou d'un noyau radioactif qui se désintègre. On sait déjà que $\exp$ vérifie $\exp'=\exp$ : c'est le cas $a=1$.
Solutions de y' = ay
Soit $a$ un réel. Les solutions sur $\mathbb R$ de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions $$x\mapsto C\,e^{ax},\quad C\in\mathbb R.$$
Démonstration (exigible)
Ces fonctions sont solutions. Pour $C$ réel, la fonction $g(x)=Ce^{ax}$ est dérivable sur $\mathbb R$ et $g'(x)=aCe^{ax}=a\,g(x)$.
Ce sont les seules. Soit $y$ une solution de $y'=ay$ sur $\mathbb R$. On pose, pour tout réel $x$, $h(x)=y(x)\,e^{-ax}$. La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb R$ comme produit de fonctions dérivables, et $$h'(x)=y'(x)e^{-ax}-a\,y(x)e^{-ax}=\big(y'(x)-a\,y(x)\big)e^{-ax}=0,$$ car $y'(x)=a\,y(x)$. La fonction $h$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $\mathbb R$ : elle est constante. Il existe un réel $C$ tel que $y(x)e^{-ax}=C$ pour tout $x$, soit $y(x)=Ce^{ax}$ en multipliant par $e^{ax}$.
Solution vérifiant une condition initiale
Pour tous réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique solution $y$ de $y'=ay$ telle que $y(x_0)=y_0$. C'est $$y(x)=y_0\,e^{a(x-x_0)}.$$ En effet, $Ce^{ax_0}=y_0$ équivaut à $C=y_0e^{-ax_0}$, car $e^{ax_0}\neq0$.
Exemples
1. Résoudre $y'=-3y$ avec $y(0)=2$. Les solutions sont $x\mapsto Ce^{-3x}$. La condition donne $C=2$, donc $y(x)=2e^{-3x}$.
2. Résoudre $2y'+5y=0$. On isole $y'$ : $y'=-\frac52y$. Les solutions sont $x\mapsto Ce^{-\frac52x}$, $C\in\mathbb R$.
3. Trouver la solution de $y'=0{,}5\,y$ telle que $y(2)=3$. On écrit $Ce^{0{,}5\times2}=3$, soit $Ce=3$ et $C=3e^{-1}$. Donc $y(x)=3e^{-1}e^{0{,}5x}=3e^{0{,}5x-1}$. Vérification : $y(2)=3e^{0}=3$.
Signe et comportement
Une solution non nulle $Ce^{ax}$ garde le signe de $C$ et ne s'annule jamais. Si $a>0$, elle tend vers $\pm\infty$ en $+\infty$ (croissance exponentielle). Si $a<0$, elle tend vers $0$ en $+\infty$ (décroissance exponentielle).
4.L'équation y' = ay + b
Solutions de y' = ay + b
Soient $a$ et $b$ deux réels, avec $a\neq0$.
- L'équation $y'=ay+b$ admet une unique solution constante : $x\mapsto -\frac ba$.
- Les solutions sur $\mathbb R$ de $y'=ay+b$ sont les fonctions $$x\mapsto C\,e^{ax}-\frac ba,\quad C\in\mathbb R.$$
- Pour tous réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique solution telle que $y(x_0)=y_0$.
Démonstration (exigible)
Solution constante. Une fonction constante $y=k$ a une dérivée nulle. Elle est solution si et seulement si $0=ak+b$, c'est-à-dire $k=-\frac ba$ (possible car $a\neq0$).
Toutes les solutions. Notons $y_p=-\frac ba$. On a $a\,y_p+b=0$, donc $b=-a\,y_p$.
Soit $y$ une fonction dérivable sur $\mathbb R$ et $z=y-y_p$. Alors $z'=y'$ et $ay+b=ay-ay_p=a\,z$. Donc $$y'=ay+b\iff z'=az.$$ D'après le théorème précédent, cela équivaut à : il existe $C$ réel tel que $z(x)=Ce^{ax}$ pour tout $x$, c'est-à-dire $y(x)=Ce^{ax}-\frac ba$.
Condition initiale. $Ce^{ax_0}-\frac ba=y_0$ équivaut à $C=\left(y_0+\frac ba\right)e^{-ax_0}$ : une seule valeur de $C$ convient.
Résoudre y' = ay + b avec une condition initiale
- Mettre l'équation sous la forme $y'=ay+b$ en isolant $y'$. Identifier $a$ et $b$ avec leurs signes.
- Chercher la solution constante $k$ en résolvant $0=ak+b$ (plutôt que d'apprendre $-\frac ba$ par cœur sans comprendre).
- Écrire la solution générale : $y(x)=Ce^{ax}+k$.
- Utiliser la condition initiale pour calculer $C$.
- Vérifier : la valeur en $x_0$ et, si possible, l'équation elle-même.
Exemple complet
Résoudre $y'=-2y+6$ avec $y(0)=1$.
- Ici $a=-2$ et $b=6$.
- Solution constante : $0=-2k+6$ donne $k=3$.
- Solutions : $y(x)=Ce^{-2x}+3$, $C\in\mathbb R$.
- $y(0)=C+3=1$ donne $C=-2$.
Conclusion : $y(x)=3-2e^{-2x}$.
Vérification : $y'(x)=4e^{-2x}$ et $-2y(x)+6=-6+4e^{-2x}+6=4e^{-2x}$.
Équation à remettre en forme
Résoudre $2y'-y=4$.
On isole $y'$ : $2y'=y+4$, soit $y'=\frac12y+2$. Donc $a=\frac12$, $b=2$.
Solution constante : $0=\frac12k+2$ donne $k=-4$.
Solutions : $x\mapsto Ce^{\frac x2}-4$, $C\in\mathbb R$.
Comportement en $+\infty$
Soit $y(x)=Ce^{ax}-\frac ba$.
- Si $a<0$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}e^{ax}=0$, donc toutes les solutions tendent vers $-\frac ba$. Cette valeur est un état d'équilibre stable : la température d'une pièce, la tension du générateur, la quantité limite de médicament.
- Si $a>0$ : seule la solution constante reste bornée ; les autres tendent vers $+\infty$ si $C>0$, vers $-\infty$ si $C<0$.
Le cas a = 0
Si $a=0$, l'équation devient $y'=b$ : c'est une recherche de primitive. Les solutions sont les fonctions $x\mapsto bx+C$. La formule $-\frac ba$ n'a alors aucun sens.
5.L'équation y' = ay + f
Solution particulière plus solutions de l'équation homogène
Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On considère $(E) : y'=ay+f$ et l'équation homogène associée $(H) : y'=ay$.
Si $p$ est une solution particulière de $(E)$ sur $I$, alors les solutions de $(E)$ sur $I$ sont les fonctions $$x\mapsto C\,e^{ax}+p(x),\quad C\in\mathbb R.$$ Au programme, la solution particulière est donnée par l'énoncé, ou cherchée sous une forme indiquée.
Démonstration
Soit $y$ dérivable sur $I$ et $z=y-p$. Comme $p'=ap+f$ : $$y'=ay+f\iff y'-p'=ay+f-(ap+f)\iff z'=az.$$ La démonstration de la section sur $y'=ay$ s'applique sur l'intervalle $I$ : $z'=az$ équivaut à $z(x)=Ce^{ax}$, c'est-à-dire $y(x)=Ce^{ax}+p(x)$.
Chercher une solution particulière d'une forme imposée
- Écrire la forme proposée avec des coefficients inconnus, par exemple $p(x)=mx+q$.
- Calculer $p'(x)$ et remplacer dans l'équation.
- Identifier les coefficients des deux membres (un polynôme est nul pour tout $x$ si et only si tous ses coefficients sont nuls) et résoudre le système obtenu.
- Conclure avec la propriété précédente, puis appliquer la condition initiale à la solution générale (pas à $p$).
Exemple avec une fonction affine
Résoudre $(E) : y'=y+x$ sur $\mathbb R$ avec $y(0)=1$, en cherchant d'abord une solution particulière affine.
On pose $p(x)=mx+q$. Alors $p'(x)=m$ et $p(x)+x=(m+1)x+q$. L'égalité $m=(m+1)x+q$ pour tout $x$ impose $m+1=0$ et $q=m$, donc $m=-1$ et $q=-1$ : $p(x)=-x-1$.
Vérification : $p'(x)=-1$ et $p(x)+x=-1$.
Solutions de $(E)$ : $y(x)=Ce^{x}-x-1$, $C\in\mathbb R$.
$y(0)=C-1=1$ donne $C=2$, donc $y(x)=2e^x-x-1$.
Ordre des étapes
La condition initiale s'applique à la solution générale $Ce^{ax}+p(x)$, jamais à la seule solution de l'équation homogène $Ce^{ax}$. Dans l'exemple précédent, écrire $Ce^0=1$ donnerait $C=1$, ce qui est faux.
6.Modéliser en physique et en biologie
En sciences, la variable est le plus souvent le temps $t$, et la dérivée de $\theta$ se note $\theta'(t)$ ou $\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}$. Les deux écritures désignent la même chose. Les résultats des sections précédentes s'appliquent tels quels en remplaçant $x$ par $t$, sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
Traiter un problème de modélisation
- Identifier la fonction inconnue, sa variable et les unités.
- Traduire l'énoncé en équation différentielle : « la vitesse de variation est proportionnelle à… » se traduit par $y'=k\times\dots$
- Mettre l'équation sous la forme $y'=ay+b$ et la résoudre.
- Utiliser la condition initiale (souvent la valeur à $t=0$).
- Répondre à la question posée : limite en $+\infty$, instant où un seuil est atteint (résolution avec $\ln$), interprétation concrète avec unités.
Refroidissement d'une tasse de café (loi de Newton)
Un café à $80\,^\circ\mathrm C$ est posé dans une pièce à $20\,^\circ\mathrm C$. Sa température $\theta(t)$, en $^\circ\mathrm C$, $t$ en minutes, vérifie $$\theta'(t)=-0{,}1\,\big(\theta(t)-20\big),\qquad \theta(0)=80.$$ Résolution. $\theta'=-0{,}1\,\theta+2$ : $a=-0{,}1$, $b=2$. Solution constante : $0=-0{,}1k+2$, soit $k=20$. Donc $\theta(t)=Ce^{-0{,}1t}+20$. Avec $\theta(0)=C+20=80$, on obtient $C=60$ : $$\theta(t)=20+60\,e^{-0{,}1t}.$$ Interprétation. $\lim\limits_{t\to+\infty}\theta(t)=20$ : le café tend vers la température de la pièce.
Seuil. $\theta(t)=50\iff 60e^{-0{,}1t}=30\iff e^{-0{,}1t}=\frac12\iff -0{,}1t=-\ln2\iff t=10\ln2$. Le café atteint $50\,^\circ\mathrm C$ au bout de $10\ln 2\approx6{,}9$ minutes.
Charge d'un condensateur (circuit RC)
Un condensateur initialement déchargé est relié à un générateur de tension constante $E$ à travers une résistance $R$. La tension $u$ à ses bornes vérifie $$RC\,u'(t)+u(t)=E,\qquad u(0)=0.$$ On isole $u'$ : $u'=-\frac{1}{RC}u+\frac{E}{RC}$. La solution constante est $u=E$. Donc $u(t)=Ke^{-\frac{t}{RC}}+E$, et $u(0)=0$ donne $K=-E$ : $$u(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right).$$ La tension tend vers $E$. La constante $\tau=RC$ s'appelle constante de temps : $u(\tau)=E(1-e^{-1})\approx0{,}63\,E$.
Désintégration radioactive
Le nombre $N(t)$ de noyaux radioactifs vérifie $N'(t)=-\lambda N(t)$, où $\lambda>0$ est la constante radioactive. Avec $N(0)=N_0$ : $$N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}.$$ La demi-vie $T$ est l'instant où la moitié des noyaux s'est désintégrée : $N_0e^{-\lambda T}=\frac{N_0}2\iff e^{-\lambda T}=\frac12\iff T=\frac{\ln 2}{\lambda}$. Elle ne dépend pas de $N_0$.
Biologie : croissance et perfusion
Croissance d'une population (modèle de Malthus). Si la vitesse de croissance est proportionnelle à l'effectif, $P'(t)=rP(t)$ avec $r>0$, donc $P(t)=P_0e^{rt}$ : la population croît exponentiellement.
Perfusion d'un médicament. Un patient reçoit $2$ mg de médicament par heure ; son organisme en élimine une quantité proportionnelle à la quantité présente, avec un coefficient $0{,}5\ \mathrm h^{-1}$. La quantité $q(t)$, en mg, vérifie $$q'(t)=-0{,}5\,q(t)+2,\qquad q(0)=0.$$ Solution constante : $0=-0{,}5k+2$, soit $k=4$. Donc $q(t)=Ce^{-0{,}5t}+4$, et $q(0)=0$ donne $C=-4$ : $$q(t)=4\left(1-e^{-0{,}5t}\right).$$ La quantité tend vers $4$ mg : c'est l'équilibre où l'élimination compense exactement l'apport.
Vérification : $q'(t)=2e^{-0{,}5t}$ et $-0{,}5\,q(t)+2=-2+2e^{-0{,}5t}+2=2e^{-0{,}5t}$.
Au-delà du programme : le modèle logistique
Le modèle de Malthus devient irréaliste sur le long terme. Le modèle logistique $P'=rP\left(1-\frac PK\right)$ tient compte d'une capacité maximale $K$. Cette équation n'est pas du type $y'=ay+b$ et sa résolution générale est hors programme. Dans les sujets de bac, elle est ramenée à une équation $y'=ay+b$ par un changement de fonction indiqué, par exemple $y=\frac1P$, avec toutes les étapes guidées.
Approcher une solution : la méthode d'Euler
Quand on ne sait pas résoudre une équation $y'=F(x,y)$, on peut approcher la solution. On part de $(x_0,y_0)$ et on choisit un pas $h$ petit. Comme $y(x+h)\approx y(x)+h\,y'(x)$, on construit $$x_{n+1}=x_n+h,\qquad y_{n+1}=y_n+h\,F(x_n,y_n).$$ Pour $y'=ay+b$, cela donne $y_{n+1}=y_n+h(ay_n+b)$, qui se programme en quelques lignes avec une boucle. Plus $h$ est petit, meilleure est l'approximation en général.