Erreurs fréquentes : Raisonnement par récurrence (Terminale)

Ne faire que l'hérédité, en jugeant l'initialisation évidente ou inutile.

L'initialisation est indispensable : une propriété peut être héréditaire et fausse pour tout $n$ (exemple de $10^n+1$ divisible par $9$). On calcule séparément les deux membres au rang $n_0$.

Écrire « Supposons $P(n)$ vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$ » dans l'hérédité.

On fixe un entier : « Soit $n\geq n_0$ fixé, on suppose $P(n)$ vraie ». Supposer la propriété pour tout $n$ revient à supposer la conclusion.

Partir de $P(n+1)$, transformer l'égalité jusqu'à obtenir une égalité vraie, et conclure que $P(n+1)$ est vraie.

Il faut partir d'un membre de $P(n+1)$ (par exemple $u_{n+1}$ ou $S_{n+1}$), utiliser l'hypothèse de récurrence, et arriver à l'autre membre par une chaîne d'égalités ou d'inégalités.

Multiplier une inégalité par un facteur sans vérifier son signe, par exemple dans Bernoulli multiplier par $1+a$ sans justifier $1+a>0$.

Avant toute multiplication d'une inégalité, écrire le signe du facteur. Un facteur négatif renverse l'inégalité.

Déduire le sens de variation de $(u_n)$ de celui de $f$ quand $u_{n+1}=f(u_n)$ : « $f$ est croissante donc $(u_n)$ est croissante ».

$f$ croissante permet de propager une inégalité par récurrence. Le sens de variation de la suite dépend de la comparaison entre $u_0$ et $u_1$, démontrée ensuite par récurrence avec $P(n)$ : « $u_n\leq u_{n+1}$ ».

Initialiser à $n=0$ une propriété fausse en $n=0$ ou vraie seulement à partir d'un rang plus grand, comme $2^n\geq n^2$.

Lire l'énoncé pour trouver $n_0$, et vérifier que l'hérédité est valable pour tout $n\geq n_0$ : dans $2^n\geq n^2$, l'argument $(n-1)^2\geq 2$ exige $n\geq 3$, et la propriété est fausse en $n=3$, d'où $n_0=4$.

Dans une somme, mal écrire le terme ajouté au rang $n+1$, par exemple ajouter $2n-1$ au lieu de $2(n+1)-1=2n+1$.

Remplacer $k$ par $n+1$ dans l'expression du terme général : le terme ajouté est $u_{n+1}$, puis $S_{n+1}=S_n+u_{n+1}$.