Exercices corrigés : Raisonnement par récurrence (Terminale)

1. $u_1=3\times 2-2=4$, $u_2=3\times 4-2=10$, $u_3=3\times 10-2=28$.

2. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « $u_n=3^n+1$ ».

Initialisation. $u_0=2$ et $3^0+1=1+1=2$. Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose $u_n=3^n+1$. Montrons que $u_{n+1}=3^{n+1}+1$. $$u_{n+1}=3u_n-2=3\left(3^n+1\right)-2=3^{n+1}+3-2=3^{n+1}+1.$$ La deuxième égalité utilise l'hypothèse de récurrence. Donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc d'après le principe de récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=3^n+1$.

On retrouve les valeurs de la question 1 : $3^1+1=4$, $3^2+1=10$, $3^3+1=28$.

1. $S_0=2^0=1$, $S_1=1+2=3$, $S_2=1+2+4=7$, $S_3=1+2+4+8=15$.

2. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « $S_n=2^{n+1}-1$ ».

Initialisation. $S_0=1$ et $2^{0+1}-1=2-1=1$. Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose $S_n=2^{n+1}-1$. Montrons que $S_{n+1}=2^{n+2}-1$.

On isole le dernier terme, puis on utilise l'hypothèse de récurrence : $$S_{n+1}=S_n+2^{n+1}=2^{n+1}-1+2^{n+1}=2\times 2^{n+1}-1=2^{n+2}-1.$$ Donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $S_n=2^{n+1}-1$.

3. $1024=2^{10}$, donc $1+2+4+\cdots+1024=S_{10}=2^{11}-1=2048-1=2047$.

1. $7^1-1=6=6\times 1$ et $7^2-1=48=6\times 8$ : ces deux nombres sont divisibles par $6$.

2. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « il existe un entier $k$ tel que $7^n-1=6k$ ».

Initialisation. $7^0-1=1-1=0=6\times 0$. Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que $7^n-1=6k$, c'est-à-dire $7^n=6k+1$. Alors $$7^{n+1}-1=7\times 7^n-1=7(6k+1)-1=42k+7-1=42k+6=6(7k+1).$$ Comme $7k+1$ est un entier, $7^{n+1}-1$ est divisible par $6$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $7^n-1$ est divisible par $6$.

1. Pour tout entier $n\geq 1$, on note $P(n)$ : « $\sum_{k=1}^{n}k^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ ».

Initialisation. Pour $n=1$ : la somme vaut $1^3=1$ et $\dfrac{1^2\times 2^2}{4}=\dfrac44=1$. Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\geq 1$ fixé. On suppose $\sum_{k=1}^{n}k^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$. Montrons que $\sum_{k=1}^{n+1}k^3=\dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$.

On isole le dernier terme et on utilise l'hypothèse de récurrence : $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n+1}k^3&=\sum_{k=1}^{n}k^3+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3\\&=\frac{(n+1)^2\left[n^2+4(n+1)\right]}{4}=\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}.\end{aligned}$$ Donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(1)$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence, la formule est vraie pour tout entier $n\geq 1$.

2. Avec $n=10$ : $1^3+2^3+\cdots+10^3=\dfrac{10^2\times 11^2}{4}=\dfrac{100\times 121}{4}=25\times 121=3025$.

3. Pour tout $n\geq 1$, $$\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\sum_{k=1}^{n}k^3.$$

1. Sur $\left[-\dfrac43\,;+\infty\right[$, la fonction $x\mapsto 3x+4$ est croissante (coefficient $3>0$) et à valeurs positives. La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$. Par composition, $f$ est croissante sur $\left[-\dfrac43\,;+\infty\right[$.

2. $f(0)=\sqrt4=2$ et $f(4)=\sqrt{16}=4$.

3. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4$ ».

Initialisation. $u_0=0$ et $u_1=f(0)=2$. On a $0\leq 0\leq 2\leq 4$, donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4$. Montrons que $0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 4$.

Les nombres $0$, $u_n$, $u_{n+1}$, $4$ appartiennent à $\left[-\dfrac43\,;+\infty\right[$, où $f$ est croissante. Donc $$f(0)\leq f(u_n)\leq f(u_{n+1})\leq f(4),\quad\text{soit}\quad 2\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 4.$$ Comme $2\geq 0$, on obtient $0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 4$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4$.

4. Pour tout $n$, $u_n\leq u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante. Elle est majorée par $4$ (et minorée par $0$).

1.

L'inégalité est vraie pour $n=0$ et $n=5$, fausse pour $n=1,2,3,4$.

2. Pour tout entier $n\geq 5$, on note $P(n)$ : « $2^n>5n$ ».

Initialisation. $2^5=32$ et $5\times 5=25$. Comme $32>25$, $P(5)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\geq 5$ un entier fixé. On suppose $2^n>5n$. Montrons que $2^{n+1}>5(n+1)$.

Comme $2>0$, en multipliant l'hypothèse de récurrence par $2$ : $2^{n+1}>10n$.

Or $10n-5(n+1)=5n-5=5(n-1)$. Comme $n\geq 5$, $n-1>0$, donc $10n>5(n+1)$.

Par transitivité, $2^{n+1}>5(n+1)$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(5)$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence, pour tout entier $n\geq 5$, $2^n>5n$.

3. L'argument utilise seulement $10n\geq 5(n+1)$, c'est-à-dire $n\geq 1$ : l'hérédité est valable pour tout $n\geq 1$. Mais $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$, $P(4)$ sont fausses : l'implication $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ ne produit rien tant qu'aucun rang n'est vrai. Le premier rang $n\geq 1$ où la propriété est vraie est $n=5$, d'où l'initialisation à $5$.

1. $f$ est dérivable sur $]-3\,;+\infty[$ et $$f'(x)=\frac{4(x+3)-(4x+2)\times 1}{(x+3)^2}=\frac{10}{(x+3)^2}>0.$$ Donc $f$ est strictement croissante sur $]-3\,;+\infty[$.

2. $u_1=f(5)=\dfrac{20+2}{5+3}=\dfrac{22}{8}=\dfrac{11}{4}=2{,}75$. $f(2)=\dfrac{8+2}{2+3}=\dfrac{10}{5}=2$.

3. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « $2\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 5$ ».

Initialisation. $u_0=5$ et $u_1=2{,}75$ : $2\leq 2{,}75\leq 5\leq 5$. $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose $2\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 5$. Ces nombres appartiennent à $[2\,;5]\subset\,]-3\,;+\infty[$, donc $u_{n+2}=f(u_{n+1})$ est bien défini et, $f$ étant croissante, $$f(2)\leq f(u_{n+1})\leq f(u_n)\leq f(5),\quad\text{soit}\quad 2\leq u_{n+2}\leq u_{n+1}\leq\frac{11}{4}.$$ Comme $\dfrac{11}{4}\leq 5$, on obtient $2\leq u_{n+2}\leq u_{n+1}\leq 5$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $2\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 5$.

4. Pour tout $n$, $u_{n+1}\leq u_n$ : la suite est décroissante. Elle est minorée par $2$. D'après le théorème de convergence monotone, elle converge.

5.a. Pour tout $n$, $u_n+3\neq 0$ car $u_n\geq 2$, et $$u_{n+1}-2=\frac{4u_n+2-2(u_n+3)}{u_n+3}=\frac{2u_n-4}{u_n+3}=\frac{2(u_n-2)}{u_n+3}.$$

5.b. Comme $u_n\geq 2$, on a $u_n+3\geq 5>0$, donc $0<\dfrac{2}{u_n+3}\leq\dfrac25$. De plus $u_n-2\geq 0$. En multipliant par le nombre positif $u_n-2$ : $$0\leq\frac{2(u_n-2)}{u_n+3}\leq\frac25(u_n-2),\quad\text{soit}\quad 0\leq u_{n+1}-2\leq\frac25(u_n-2).$$

5.c. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $Q(n)$ : « $0\leq u_n-2\leq 3\left(\dfrac25\right)^n$ ».

Initialisation. $u_0-2=3$ et $3\left(\dfrac25\right)^0=3$ : $0\leq 3\leq 3$. $Q(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose $0\leq u_n-2\leq 3\left(\dfrac25\right)^n$. D'après 5.b, $u_{n+1}-2\geq 0$ et, en multipliant l'hypothèse de récurrence par $\dfrac25>0$, $$u_{n+1}-2\leq\frac25(u_n-2)\leq\frac25\times 3\left(\frac25\right)^n=3\left(\frac25\right)^{n+1}.$$ $Q(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leq u_n-2\leq 3\left(\dfrac25\right)^n$.

5.d. Comme $0<\dfrac25<1$, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac25\right)^n=0$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n-2)=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2$.

1. Si l'on suppose $S_n\leq 2$, on obtient seulement $S_{n+1}=S_n+\dfrac{1}{(n+1)^2}\leq 2+\dfrac{1}{(n+1)^2}$, ce qui ne permet pas de conclure $S_{n+1}\leq 2$. L'hypothèse $S_n\leq 2$ ne laisse aucune marge pour absorber le terme ajouté. On démontre une propriété plus forte, qui prévoit cette marge.

2. Pour tout entier $n\geq 1$, on note $P(n)$ : « $S_n\leq 2-\dfrac1n$ ».

Initialisation. $S_1=1$ et $2-\dfrac11=1$. Comme $1\leq 1$, $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\geq 1$ fixé. On suppose $S_n\leq 2-\dfrac1n$. Montrons que $S_{n+1}\leq 2-\dfrac{1}{n+1}$.

Par l'hypothèse de récurrence : $S_{n+1}=S_n+\dfrac{1}{(n+1)^2}\leq 2-\dfrac1n+\dfrac{1}{(n+1)^2}$.

Comparons ce majorant au but : $$\left(2-\frac{1}{n+1}\right)-\left(2-\frac1n+\frac{1}{(n+1)^2}\right)=\frac1n-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2-n(n+1)-n}{n(n+1)^2}=\frac{1}{n(n+1)^2}.$$ En effet $(n+1)^2-n(n+1)-n=n^2+2n+1-n^2-n-n=1$. Ce nombre est strictement positif, donc $2-\dfrac1n+\dfrac{1}{(n+1)^2}<2-\dfrac{1}{n+1}$.

Par transitivité, $S_{n+1}\leq 2-\dfrac{1}{n+1}$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, pour tout entier $n\geq 1$, $S_n\leq 2-\dfrac1n$.

3. Pour tout $n\geq 1$, $S_{n+1}-S_n=\dfrac{1}{(n+1)^2}>0$ : la suite $(S_n)$ est croissante. De plus $S_n\leq 2-\dfrac1n<2$ : elle est majorée par $2$. D'après le théorème de convergence monotone, $(S_n)$ converge.

Remarque (hors programme) : sa limite vaut $\dfrac{\pi^2}{6}\approx 1{,}645$.

Partie A

1. $u_1=\dfrac12\times 2+\dfrac12\times 0+1=2$ et $u_2=\dfrac12\times 2+\dfrac12\times 1+1=2{,}5$.

$u_1-u_0=0$ et $u_2-u_1=0{,}5$ : ces différences ne sont pas égales, la suite n'est pas arithmétique. $\dfrac{u_1}{u_0}=1$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=1{,}25$ : ces quotients ne sont pas égaux, la suite n'est pas géométrique.

2. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « $n\leq u_n\leq n+2$ ».

Initialisation. $u_0=2$ et $0\leq 2\leq 2$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose $n\leq u_n\leq n+2$. Montrons que $n+1\leq u_{n+1}\leq n+3$.

En multipliant par $\dfrac12>0$ : $\dfrac n2\leq\dfrac12u_n\leq\dfrac n2+1$. En ajoutant $\dfrac12n+1$ : $$n+1\leq u_{n+1}\leq n+2.$$ Comme $n+2\leq n+3$, on obtient $n+1\leq u_{n+1}\leq n+3$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n\leq u_n\leq n+2$.

3.a. $u_{n+1}-u_n=\dfrac12u_n+\dfrac12n+1-u_n=-\dfrac12u_n+\dfrac12n+1=\dfrac12(n+2-u_n)$.

3.b. D'après la question 2, $u_n\leq n+2$, donc $n+2-u_n\geq 0$ et $u_{n+1}-u_n\geq 0$. La suite $(u_n)$ est croissante.

4. Pour tout $n$, $u_n\geq n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}n=+\infty$. Par comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

Partie B

1. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)=\frac12u_n+\frac12n+1-n-1=\frac12u_n-\frac12n=\frac12(u_n-n)=\frac12v_n.$$ La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $v_0=u_0-0=2$.

2. Pour tout $n$, $v_n=2\left(\dfrac12\right)^n=\dfrac{2}{2^n}=2^{1-n}$. Donc $u_n=v_n+n=n+2^{1-n}$.

3. Pour $n\geq 1$, $\dfrac{u_n}{n}=1+\dfrac{2^{1-n}}{n}$. Comme $0<\dfrac12<1$, $\lim\limits_{n\to+\infty}2^{1-n}=\lim\limits_{n\to+\infty}2\left(\dfrac12\right)^n=0$, et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$. Par produit, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2^{1-n}}{n}=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{n}=1$.

Partie C

1.

def seuil(A):
    n = 0
    u = 2
    while u < A:
        u = u/2 + n/2 + 1
        n = n + 1
    return n

La boucle continue tant que $u_n<A$. La nouvelle valeur de u est calculée avec l'ancienne valeur de n, conformément à $u_{n+1}=\frac12u_n+\frac12n+1$, puis n est augmenté de $1$.

2. $u_{99}=99+2^{-98}<100$ et $u_{100}=100+2^{-99}\geq 100$. Comme $(u_n)$ est croissante, $u_n\leq u_{99}<100$ pour tout $n\leq 99$. Le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geq 100$ est donc $100$ : seuil(100) renvoie $100$.