Fiche résumé : Raisonnement par récurrence (Terminale)

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un certain rang, alors qu'on ne peut pas vérifier une infinité de cas un par un. On s'en sert pour les suites définies par récurrence, pour les inégalités et pour les formules de sommes.

Principe de récurrence : si $P(n_0)$ est vraie et si, pour tout $n\geq n_0$, $P(n)\Rightarrow P(n+1)$, alors $P(n)$ est vraie pour tout $n\geq n_0$.
Rédaction en quatre temps :
- énoncer $P(n)$ (une phrase) et le rang $n_0$ ;
- initialisation : vérifier $P(n_0)$ en calculant chaque membre ;
- hérédité : « Soit $n\geq n_0$ fixé, on suppose $P(n)$ vraie ; montrons $P(n+1)$ », écrire le but, utiliser l'hypothèse de récurrence ;
- conclusion : « par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n\geq n_0$ ».
Suites $u_{n+1}=f(u_n)$ : avec $f$ croissante sur un intervalle contenant $[a\,;b]$, on démontre $a\leq u_n\leq u_{n+1}\leq b$ en appliquant $f$ ; vérifier $f(a)\geq a$ et $f(b)\leq b$.
$f$ croissante ne signifie pas $(u_n)$ croissante : tout dépend de $u_0$ et $u_1$.
Inégalité de Bernoulli (démonstration exigible) : pour tout réel $a\geq 0$ et tout $n\in\mathbb{N}$, $(1+a)^n\geq 1+na$. Clé de l'hérédité : $(1+na)(1+a)=1+(n+1)a+na^2\geq 1+(n+1)a$.
Conséquence : si $q>1$, $\lim\limits_{n\to+\infty}q^n=+\infty$ (Bernoulli avec $a=q-1$ puis comparaison).
Inégalités : chaîne $A\geq B\geq C$, la seconde inégalité s'étudie par le signe de $B-C$ ; vérifier le signe de tout facteur multiplicatif.
Sommes : $S_{n+1}=S_n+u_{n+1}$, puis factoriser.
- $\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$
- $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2$
- $\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Pièges : hérédité sans initialisation ne prouve rien ; vérifier beaucoup de cas ne prouve rien ; ne jamais supposer $P(n)$ « pour tout $n$ » ; $P(n)$ est une phrase, pas un nombre.