Erreurs fréquentes : Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres (Terminale)
Ce chapitre donne les outils pour calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire construite comme une somme, en particulier la somme ou la moyenne d'un échantillon. Il établit ensuite, grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que la moyenne d'un grand échantillon se concentre autour de l'espérance : c'est la loi des grands nombres.
Écrire $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ sans vérifier que $X$ et $Y$ sont indépendantes (par exemple pour des tirages sans remise).
L'additivité de la variance exige l'indépendance. Seule l'espérance est additive sans condition. Avant d'additionner des variances, justifier l'indépendance (épreuves indépendantes, tirages avec remise).
Écrire $V(X-Y)=V(X)-V(Y)$.
Pour $X$ et $Y$ indépendantes, $V(X-Y)=V(X)+(-1)^2V(Y)=V(X)+V(Y)$. Une variance est positive ; une différence de variances pourrait être négative.
Additionner les écarts types : $\sigma(X+Y)=\sigma(X)+\sigma(Y)$.
Ce sont les variances qui s'additionnent (sous indépendance) : $\sigma(X+Y)=\sqrt{\sigma(X)^2+\sigma(Y)^2}$. De même $\sigma(S_n)=\sqrt n\,\sigma(X)$ et non $n\,\sigma(X)$.
Écrire $V(aX)=aV(X)$ ou $V(M_n)=\frac{V}{n^2}$ en oubliant un facteur.
$V(aX)=a^2V(X)$. Pour la moyenne : $V(M_n)=\frac{1}{n^2}V(S_n)=\frac{1}{n^2}\times nV=\frac{V}{n}$.
Confondre $nX$ et $X_1+\dots+X_n$, et écrire $V(X_1+\dots+X_n)=n^2V(X)$.
$nX$ correspond à une seule expérience : $V(nX)=n^2V(X)$. La somme de $n$ variables indépendantes de même loi que $X$ vérifie $V(S_n)=nV(X)$.
Croire que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne la valeur de la probabilité, ou l'utiliser dans le mauvais sens : $P(|X-\mu|<\delta)\leq1-\frac{V}{\delta^2}$.
Elle fournit seulement une majoration $P(|X-\mu|\geq\delta)\leq\frac{V}{\delta^2}$, donc une minoration $P(|X-\mu|<\delta)\geq1-\frac{V}{\delta^2}$. La vraie probabilité peut être bien différente de la borne.
Arrondir la taille d'échantillon à l'entier inférieur ou à l'entier le plus proche (par exemple $n=5833$ au lieu de $5834$).
La condition est $n\geq\frac{V}{\alpha\delta^2}$ : il faut prendre le plus petit entier supérieur ou égal à ce quotient. Penser aussi à élever $\delta$ au carré.
Interpréter la loi des grands nombres comme une compensation : après beaucoup de Pile, Face deviendrait plus probable.
Les épreuves restent indépendantes et la probabilité de chaque issue ne change pas. La loi des grands nombres porte sur la moyenne $M_n$ : la probabilité qu'elle s'écarte de $\mu$ d'au moins $\delta$ tend vers $0$.