Exercices corrigés : Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres (Terminale)

On considère deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ dont les lois sont données ci-dessous.

On pose $S=X+Y$.

1. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $S$.
2. Déterminer la loi de $S$.
3. Calculer $E(S)$ à partir de la loi de $S$, puis retrouver ce résultat par linéarité de l'espérance.

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $E(X)=4$, $V(X)=2$, $E(Y)=-1$ et $V(Y)=3$. On pose $Z=3X-2Y+5$.

1. Calculer $E(Z)$.
2. Calculer $V(Z)$, puis $\sigma(Z)$ arrondi au centième.
3. Un élève écrit : « $V(Z)=3\times2-2\times3=0$ ». Relever ses deux erreurs et expliquer pourquoi son résultat est absurde.

Un archer tire $40$ flèches. À chaque tir, indépendamment des autres, il atteint le centre de la cible avec la probabilité $0{,}85$. Pour $i\in\{1,\dots,40\}$, on note $X_i$ la variable qui vaut $1$ si le $i$-ième tir atteint le centre et $0$ sinon. On note $X$ le nombre de tirs qui atteignent le centre.

1. Donner la loi de $X_i$, son espérance et sa variance.
2. Exprimer $X$ à l'aide des $X_i$ et donner la loi de $X$.
3. En utilisant les questions 1 et 2, calculer $E(X)$ et $V(X)$ en justifiant chaque étape, puis donner $\sigma(X)$ arrondi au centième.
4. Chaque flèche atteint la cible. Une flèche au centre rapporte $10$ points, une flèche hors du centre rapporte $4$ points. On note $T$ le score total. a) Montrer que $T=6X+160$. b) Calculer $E(T)$, $V(T)$ et $\sigma(T)$ (arrondi au centième).

À un jeu, le gain $X$ (en euros) d'une partie suit la loi suivante.

On joue $25$ parties indépendantes. On note $X_i$ le gain de la $i$-ième partie, de sorte que $(X_1,\dots,X_{25})$ est un échantillon de la loi de $X$. On note $S_{25}$ le gain total et $M_{25}$ le gain moyen par partie.

1. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
2. Calculer $E(S_{25})$, $V(S_{25})$ et $\sigma(S_{25})$ (arrondi au centième).
3. Calculer $E(M_{25})$, $V(M_{25})$ et $\sigma(M_{25})$ (arrondi au millième).

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $20$ et de variance $4$.

1. Majorer $P(|X-20|\geq5)$.
2. En déduire une minoration de $P(15<X<25)$.
3. Justifier que $\{X\geq26\}\subset\{|X-20|\geq6\}$, puis majorer $P(X\geq26)$.
4. Que donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=1$ ? Commenter.

Alice lance $10$ fléchettes ; chacune atteint la zone centrale avec la probabilité $0{,}6$. Bruno lance $8$ fléchettes ; chacune atteint la zone centrale avec la probabilité $0{,}5$. Tous les lancers sont indépendants. On note $X$ le nombre de fléchettes d'Alice dans la zone centrale, $Y$ celui de Bruno, et $D=X-Y$.

1. Donner les lois de $X$ et $Y$, leurs espérances et leurs variances.
2. Calculer $E(D)$ et interpréter.
3. Calculer $V(D)$ et $\sigma(D)$ (arrondi au centième). Un élève trouve $V(D)=0{,}4$ : expliquer son erreur.
4. Majorer $P(|D-2|\geq5)$, puis en déduire une minoration de $P(-2\leq D\leq6)$.

Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules noires. On tire successivement et sans remise $3$ boules. Pour $i\in\{1,2,3\}$, $X_i$ vaut $1$ si la $i$-ième boule tirée est rouge et $0$ sinon. On note $X=X_1+X_2+X_3$ le nombre de boules rouges obtenues.

1. Calculer $P(X_1=1)$.
2. À l'aide de la formule des probabilités totales, calculer $P(X_2=1)$.
3. On admet que $P(X_3=1)=0{,}4$. En déduire $E(X)$.
4. Déterminer la loi de $X$, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$ à partir de cette loi.
5. Calculer $V(X_1)+V(X_2)+V(X_3)$ et comparer à $V(X)$. Expliquer.

Dans une région, $20\,\%$ des foyers sont équipés d'une pompe à chaleur. On interroge $400$ foyers choisis au hasard ; ce choix est assimilé à $400$ tirages indépendants avec remise. On note $X$ le nombre de foyers équipés parmi eux.

1. Donner la loi de $X$, son espérance, sa variance et son écart type.
2. Déterminer le plus petit entier $\delta$ tel que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantisse $P(|X-80|\geq\delta)\leq0{,}05$. En déduire un intervalle $[a\,;b]$, avec $a$ et $b$ entiers, tel que $P(a\leq X\leq b)\geq0{,}95$.
3. En utilisant la forme $P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}$ avec $k=2$, déterminer des entiers $c$ et $d$ tels que $P(c\leq X\leq d)\geq0{,}75$.
4. Dans une commune de cette région, sur $400$ foyers interrogés au hasard, $121$ sont équipés. Que peut-on en penser ?

La durée (en minutes) d'une tâche effectuée par un robot est modélisée par une variable aléatoire $X$ prenant un nombre fini de valeurs, d'espérance $\mu$ inconnue et de variance $V=9$. On mesure les durées de $n$ tâches, modélisées par un échantillon $(X_1,\dots,X_n)$ de la loi de $X$, et on note $M_n$ leur moyenne.

1. Déterminer une valeur de $n$ telle que l'inégalité de concentration garantisse $P(|M_n-\mu|\geq0{,}5)\leq0{,}01$.
2. On mesure $n=1000$ tâches. Minorer $P(|M_n-\mu|<0{,}5)$.
3. On mesure $n=3600$ tâches et on accepte un risque de $0{,}05$. Quelle est la plus petite précision $\delta$ que l'inégalité de concentration permet de garantir ? Arrondir au millième.

Un institut veut estimer la proportion $p$ de personnes d'une grande population qui utilisent un certain service. Il interroge $n$ personnes au hasard ; la fréquence observée $M_n$ est assimilée à la moyenne d'un échantillon de taille $n$ de la loi de Bernoulli de paramètre $p$.

1. Rappeler $E(M_n)$ et $V(M_n)$ en fonction de $p$ et $n$.
2. Sans aucune information sur $p$, déterminer une taille $n$ qui garantit, par l'inégalité de concentration, $P(|M_n-p|\geq0{,}03)\leq0{,}1$.
3. Une étude antérieure assure que $p\leq0{,}1$. a) Étudier les variations de $f:p\mapsto p(1-p)$ sur $[0\,;0{,}1]$ et en déduire un majorant de $p(1-p)$. b) Déterminer une nouvelle taille $n$ suffisante pour la même précision et le même risque. Commenter.

On considère la fonction Python suivante. On rappelle que random() renvoie un réel aléatoire de $[0\,;1[$ et que la condition random() < p est réalisée avec la probabilité $p$, indépendamment d'un appel à l'autre.

from random import random

def frequence(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        if random() < 0.3:
            s = s + 1
    return s / n

1. Expliquer ce que représente la valeur renvoyée par frequence(n). On note $M_n$ la variable aléatoire correspondante.
2. Justifier que $M_n$ est la moyenne d'un échantillon d'une loi à préciser, puis calculer $E(M_n)$ et $V(M_n)$.
3. Pour $n=1000$, minorer la probabilité que la valeur renvoyée appartienne à $]0{,}25\,;0{,}35[$.
4. Déterminer une valeur de $n$ garantissant que la valeur renvoyée est à moins de $0{,}05$ de $0{,}3$ avec une probabilité au moins $0{,}99$.
5. Que dit la loi faible des grands nombres sur les valeurs renvoyées quand $n$ devient grand ?

Un joueur lance un dé équilibré à six faces. S'il obtient $1$, $2$ ou $3$, il perd $3$ euros ; s'il obtient $4$ ou $5$, il gagne $1$ euro ; s'il obtient $6$, il gagne $5$ euros. On note $X$ son gain algébrique pour une partie.

1. Donner la loi de $X$. Montrer que $E(X)=-\frac13$ et $V(X)=\frac{80}{9}$.
2. Le joueur joue $n$ parties indépendantes ($n\geq1$) ; on note $S_n$ son gain total. Calculer $E(S_n)$ et $V(S_n)$.
3. Montrer que $\{S_n\geq0\}\subset\left\{\left|S_n+\frac n3\right|\geq\frac n3\right\}$.
4. En déduire que, pour tout $n\geq1$, $P(S_n\geq0)\leq\dfrac{80}{n}$.
5. a) Pour $n=36$, cette majoration est-elle utile ? b) À partir de combien de parties est-on sûr que la probabilité que le joueur ne soit pas en perte est au plus $0{,}05$ ? c) Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}P(S_n\geq0)$ et interpréter.

On lance $n$ fois un dé équilibré à six faces ($n\geq1$), les lancers étant indépendants. On note $N$ le nombre de faces distinctes obtenues. Par exemple, pour $n=4$ et les résultats $2,5,2,6$, on a $N=3$.

Pour $k\in\{1,\dots,6\}$, on note $I_k$ la variable qui vaut $1$ si la face $k$ apparaît au moins une fois au cours des $n$ lancers, et $0$ sinon.

1. Exprimer $N$ à l'aide des $I_k$.
2. Calculer $P(I_k=0)$, puis $E(I_k)$.
3. En déduire que $E(N)=6\left(1-\left(\frac56\right)^n\right)$. Donner une valeur approchée au centième de $E(N)$ pour $n=6$.
4. Dans le cas $n=1$, montrer que $I_1$ et $I_2$ ne sont pas indépendantes. Pourquoi le calcul de la question 3 reste-t-il valable ?
5. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $E(N)\geq5$.
6. Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}E(N)$ et interpréter.

1. Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $-2$, $0$ et $2$ avec $P(X=-2)=P(X=2)=\frac18$ et $P(X=0)=\frac34$. a) Calculer $E(X)$ et $V(X)$. b) Que donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $\delta=2$ ? Calculer la valeur exacte de $P(|X-E(X)|\geq2)$ et comparer. c) Même question pour $\delta=1$.
2. Soit $a>0$ et $p\in\left]0\,;\frac12\right]$. Soit $Y$ une variable prenant les valeurs $-a$, $0$ et $a$ avec $P(Y=-a)=P(Y=a)=p$ et $P(Y=0)=1-2p$. a) Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$. b) Montrer que, pour $\delta=a$, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est une égalité.
3. Un élève propose de remplacer, pour toute variable $Z$ et tout $\delta>0$, la majoration $\frac{V(Z)}{\delta^2}$ par $\frac{V(Z)}{2\delta^2}$. Montrer que sa proposition est fausse.

Une joueuse de basket s'intéresse aux points qu'elle marque sur lancers francs et sur tirs à trois points. On admet que les résultats de tous ses tirs sont indépendants. Les probabilités sont arrondies à $10^{-3}$.

Partie A. Lors d'un match, elle tente $10$ lancers francs ; chacun est réussi avec la probabilité $0{,}8$ et rapporte $1$ point. On note $F$ le nombre de lancers francs réussis.

1. Justifier que $F$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer $P(F=9)$, puis $P(F\geq9)$.
3. Calculer $E(F)$ et $V(F)$.

Partie B. Lors du même match, elle tente aussi $12$ tirs à trois points ; chacun est réussi avec la probabilité $0{,}35$ et rapporte $3$ points. On note $D$ le nombre de tirs à trois points réussis, et $T=F+3D$ le nombre de points marqués sur ces deux types de tirs.

1. Donner la loi de $D$, son espérance et sa variance.
2. Calculer $E(T)$.
3. Justifier que $V(T)=26{,}17$. Donner $\sigma(T)$ arrondi au centième.
4. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que $P(11\leq T\leq30)\geq0{,}738$.

Partie C. On considère une saison de $n$ matchs. Les nombres de points $T_1,\dots,T_n$ marqués lors de ces matchs forment un échantillon de la loi de $T$. On note $M_n=\dfrac{T_1+\dots+T_n}{n}$.

1. Donner $E(M_n)$ et $V(M_n)$.
2. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'inégalité de concentration garantit $P(|M_n-20{,}6|\geq2)\leq0{,}1$.
3. Pour une saison de $100$ matchs, minorer la probabilité que la moyenne de points par match soit strictement comprise entre $18{,}6$ et $22{,}6$.

À chaque arrêt d'une ligne de bus rurale, le nombre $X$ de voyageurs qui montent suit la loi suivante.

On admet que les nombres de voyageurs montant aux différents arrêts sont indépendants et suivent tous la loi de $X$.

Partie A.

1. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.
2. On considère deux arrêts consécutifs ; $X_1$ et $X_2$ sont les nombres de voyageurs qui y montent. Calculer $P(X_1+X_2=3)$.

Partie B. Dans une journée, le bus dessert $40$ arrêts. On note $S$ le nombre total de voyageurs montés dans la journée.

1. Calculer $E(S)$, $V(S)$ et $\sigma(S)$ (arrondi au centième).
2. Le chauffeur dispose d'un carnet de $89$ tickets. Justifier que $\{S\geq90\}\subset\{|S-68|\geq22\}$, puis montrer que la probabilité que le carnet suffise est supérieure à $0{,}93$.
3. Chaque voyageur paie $1{,}50$ euro. On note $R$ la recette de la journée. Calculer $E(R)$ et $\sigma(R)$ (arrondi au centième).
4. Un employé modélise la recette par $R'=1{,}5\times40\,X_1$, en supposant que tous les arrêts accueillent le même nombre de voyageurs que le premier. Calculer $V(R')$ et expliquer pourquoi ce modèle surestime la dispersion.

Partie C. Pour mieux connaître la fréquentation, on observe $n$ arrêts et on calcule le nombre moyen $M_n$ de voyageurs montés par arrêt. Déterminer une valeur de $n$ telle que l'inégalité de concentration garantisse $P(|M_n-1{,}7|\geq0{,}1)\leq0{,}05$.