QCM : Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres (Terminale)
Ce chapitre donne les outils pour calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire construite comme une somme, en particulier la somme ou la moyenne d'un échantillon. Il établit ensuite, grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que la moyenne d'un grand échantillon se concentre autour de l'espérance : c'est la loi des grands nombres.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur le même univers, avec $E(X)=2$ et $E(Y)=-3$. On ne sait pas si $X$ et $Y$ sont indépendantes. Que vaut $E(2X-Y+1)$ ?
Par linéarité de l'espérance, qui ne demande aucune hypothèse d'indépendance : $E(2X-Y+1)=2E(X)-E(Y)+1=4-(-3)+1=8$. Le choix $2$ vient d'une erreur de signe : on a écrit $-3$ au lieu de $-(-3)=+3$. Le choix $7$ oublie la constante $+1$. Le dernier choix confond l'espérance avec la variance : seule l'additivité de la variance exige l'indépendance.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes avec $V(X)=4$ et $V(Y)=9$. Que vaut $V(X-Y)$ ?
Pour des variables indépendantes : $V(X-Y)=V(X)+(-1)^2V(Y)=4+9=13$. Le piège principal est d'écrire $V(X-Y)=V(X)-V(Y)=-5$. Une variance ne peut pas être négative, ce qui suffit à écarter ce choix. Le choix $5$ est la valeur absolue de cette différence. Le choix $1=(2-3)^2$ vient d'une soustraction des écarts types.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, avec $\sigma(X)=3$ et $\sigma(Y)=4$. Que vaut $\sigma(X+Y)$ ?
Ce sont les variances qui s'additionnent : $V(X+Y)=9+16=25$, donc $\sigma(X+Y)=\sqrt{25}=5$. Le choix $7$ additionne les écarts types, ce qui est l'erreur la plus fréquente. Le choix $25$ est la variance : on a oublié de prendre la racine carrée. Le choix $\sqrt7$ prend la racine de la somme des écarts types au lieu de la somme de leurs carrés.
La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(50\,;0{,}2)$. Que vaut $V(X)$ ?
$X$ est la somme de $50$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $0{,}2$, donc $V(X)=np(1-p)=50\times0{,}2\times0{,}8=8$. Le choix $10$ est l'espérance $np$. Le choix $\sqrt8$ est l'écart type, pas la variance. Le choix $40=50\times0{,}8$ oublie le facteur $p$.
Soit $(X_1,\dots,X_{25})$ un échantillon de taille $25$ de la loi d'une variable $X$ telle que $V(X)=10$. On note $M_{25}$ la moyenne de cet échantillon. Que vaut $V(M_{25})$ ?
$V(M_n)=\frac{1}{n^2}V(S_n)=\frac{1}{n^2}\times nV=\frac Vn$, donc $V(M_{25})=\frac{10}{25}=0{,}4$. Le choix $0{,}016=\frac{10}{625}$ divise par $n^2$ : on a oublié que $V(S_n)=nV$. Le choix $250$ est $V(S_{25})$, la variance de la somme. Le choix $2=\frac{10}{\sqrt{25}}$ applique à la variance la division par $\sqrt n$, qui concerne seulement l'écart type.
Soit $X$ une variable aléatoire de variance $2$ et $(X_1,X_2,X_3)$ un échantillon de taille $3$ de la loi de $X$. Que vaut $V(X_1+X_2+X_3)$ ?
Les $X_i$ sont indépendantes et de même variance $2$, donc $V(X_1+X_2+X_3)=2+2+2=6$. Le choix $18$ confond la somme avec $3X$ : on a bien $V(3X)=9\times2=18$, mais $3X$ correspond à une seule expérience dont on triple le résultat. Le choix $2$ oublie d'additionner les variances. Le choix $\frac23$ est la variance de la moyenne $M_3$.
Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $20$ et pour variance $4$. Quelle majoration de $P(|X-20|\geq5)$ l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit-elle ?
Avec $\delta=5$ : $P(|X-20|\geq5)\leq\frac{V}{\delta^2}=\frac{4}{25}=0{,}16$. Le choix $0{,}8=\frac45$ oublie d'élever $\delta$ au carré. Le choix avec le signe $=$ prend la borne pour la valeur exacte de la probabilité : l'inégalité ne fournit qu'une majoration. Le choix $\geq0{,}84$ inverse le sens : c'est l'événement contraire $\{|X-20|<5\}$ qui a une probabilité au moins $0{,}84$.
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma>0$. Quelle minoration de $P(|X-\mu|<3\sigma)$ obtient-on directement avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
Avec $\delta=3\sigma$, on a $\frac{V}{\delta^2}=\frac{\sigma^2}{9\sigma^2}=\frac19$. Donc $P(|X-\mu|\geq3\sigma)\leq\frac19$ et, par passage au contraire, $P(|X-\mu|<3\sigma)\geq1-\frac19=\frac89$. Le choix $\frac19$ confond l'événement et son contraire. Le choix $\frac23=1-\frac13$ oublie d'élever $k=3$ au carré. Le choix $\leq\frac89$ applique l'inégalité dans le mauvais sens.
On veut estimer une proportion inconnue $p$ par la fréquence $M_n$ observée sur un échantillon de taille $n$ de la loi de Bernoulli de paramètre $p$. On utilise la majoration $p(1-p)\leq\frac14$ et l'inégalité de concentration. À partir de quelle taille $n$ l'inégalité de concentration garantit-elle $P(|M_n-p|\geq0{,}05)\leq0{,}1$ ?
L'inégalité de concentration donne $P(|M_n-p|\geq0{,}05)\leq\frac{p(1-p)}{n\times0{,}05^2}\leq\frac{0{,}25}{0{,}0025\,n}$. Il suffit donc que $n\geq\frac{0{,}25}{0{,}1\times0{,}0025}=1000$. Le choix $50$ oublie d'élever la précision au carré. Le choix $500$ échange les rôles de la précision et du risque : $\frac{0{,}25}{0{,}05\times0{,}1^2}=500$. Le choix $4000$ prend $V=1$ au lieu du majorant $\frac14$.
Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ de la loi d'une variable $X$ d'espérance $\mu$, et $S_n$ la somme de cet échantillon. Que dit la loi faible des grands nombres ?
La loi faible des grands nombres affirme que, pour toute précision $\delta>0$, la probabilité que la moyenne s'écarte de $\mu$ d'au moins $\delta$ tend vers $0$. On la démontre avec l'inégalité de concentration et le théorème des gendarmes. Elle ne dit pas que $M_n$ finit par valoir exactement $\mu$ : c'est une probabilité qui tend vers $0$. L'écart $S_n-n\mu$ ne devient pas petit, puisque $\sigma(S_n)=\sqrt n\,\sigma(X)$ augmente : c'est l'écart divisé par $n$ qui devient petit. Enfin, il n'y a aucune compensation : les lancers restent indépendants et Pile garde la probabilité $\frac12$ à chaque lancer.