Fiche résumé : Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres (Terminale)

Ce chapitre donne les outils pour calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire construite comme une somme, en particulier la somme ou la moyenne d'un échantillon. Il établit ensuite, grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que la moyenne d'un grand échantillon se concentre autour de l'espérance : c'est la loi des grands nombres.

Somme : $(X+Y)(\omega)=X(\omega)+Y(\omega)$. Loi : $P(X+Y=s)=\sum_{x+y=s}P(X=x,Y=y)$.
Linéarité de l'espérance (toujours vraie) : $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ et $E(X_1+\dots+X_n)=E(X_1)+\dots+E(X_n)$.
Indépendance : $P(X=x\,\text{ et }\,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ pour tous $x,y$ ; cas typique : variables issues d'épreuves indépendantes.
Variance : $V(aX+b)=a^2V(X)$. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$, $V(X-Y)=V(X)+V(Y)$, $V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)$.
Les écarts types ne s'additionnent pas : $\sigma(X+Y)=\sqrt{\sigma(X)^2+\sigma(Y)^2}$ sous indépendance.
Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $E=p$, $V=p(1-p)$.
Binomiale : $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ s'écrit $X=X_1+\dots+X_n$ avec $X_i$ indépendantes de Bernoulli de paramètre $p$ ; $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$, $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.
Échantillon de taille $n$ de la loi de $X$ : $(X_1,\dots,X_n)$ indépendantes, de même loi que $X$. On note $\mu=E(X)$, $V=V(X)$.
$S_n=X_1+\dots+X_n$ : $E(S_n)=n\mu$, $V(S_n)=nV$, $\sigma(S_n)=\sqrt n\,\sigma(X)$.
$M_n=\frac{S_n}{n}$ : $E(M_n)=\mu$, $V(M_n)=\frac Vn$, $\sigma(M_n)=\frac{\sigma(X)}{\sqrt n}$.
Bienaymé-Tchebychev : pour tout $\delta>0$, $P(|X-\mu|\geq\delta)\leq\frac{V(X)}{\delta^2}$, soit $P(|X-\mu|<\delta)\geq1-\frac{V(X)}{\delta^2}$ ; avec $\delta=k\sigma$ : $P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq\frac1{k^2}$.
Intervalle de fluctuation au risque $\alpha$ : choisir $\delta\geq\sqrt{V/\alpha}$, alors $P(\mu-\delta<X<\mu+\delta)\geq1-\alpha$.
Inégalité de concentration : $P(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq\frac{V}{n\delta^2}$ (Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$).
Taille d'échantillon pour une précision $\delta$ et un risque $\alpha$ : $n\geq\frac{V}{\alpha\delta^2}$, arrondi à l'entier supérieur. Pour une proportion : $p(1-p)\leq\frac14$.
Loi faible des grands nombres : pour tout $\delta>0$, $\lim\limits_{n\to+\infty}P(|M_n-\mu|\geq\delta)=0$ ; la fréquence observée se rapproche de la probabilité.