Dérivation
Ce chapitre fait partie du programme de Première.
La dérivation mesure la vitesse à laquelle une fonction varie en chaque point et fournit l'équation de la tangente à sa courbe. Elle donne surtout une méthode systématique pour obtenir le sens de variation d'une fonction et résoudre des problèmes d'optimisation.
Prérequis
- Équation réduite d'une droite et coefficient directeur $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
- Fonctions de référence de Seconde : carré, cube, inverse, racine carrée (courbes et variations).
- Calcul algébrique : identités remarquables, factorisation, réduction au même dénominateur.
- Second degré : discriminant, racines et signe d'un trinôme.
- Tableaux de signes d'un produit et d'un quotient.
À la fin du chapitre, on sait
- Calculer un taux de variation et l'interpréter comme coefficient directeur d'une sécante.
- Calculer un nombre dérivé comme limite d'un taux de variation.
- Lire graphiquement un nombre dérivé et déterminer une équation de tangente.
- Connaître les dérivées des fonctions usuelles.
- Dériver une somme, un produit, un inverse, un quotient et une fonction $x\mapsto g(ax+b)$.
- Déduire le sens de variation d'une fonction du signe de sa dérivée.
- Déterminer les extremums locaux d'une fonction et résoudre un problème d'optimisation.
1.Taux de variation et nombre dérivé
Une fonction peut varier vite à certains endroits et lentement à d'autres. Pour mesurer cette vitesse en un point précis, on part d'une vitesse moyenne entre deux points, le taux de variation, puis on rapproche les deux points.
Taux de variation
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$, $b$ deux réels distincts de $I$. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est le nombre $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ En posant $b=a+h$ avec $h\neq 0$, il s'écrit $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$ Interprétation graphique : si $A(a\,;f(a))$ et $M(a+h\,;f(a+h))$ sont deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$, ce taux est le coefficient directeur de la sécante $(AM)$.
Taux de variation de la fonction carré en 3
Soit $f(x)=x^2$ et $a=3$. Pour $h\neq 0$ : $$\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(3+h)^2-9}{h}=\frac{9+6h+h^2-9}{h}=\frac{h(6+h)}{h}=6+h.$$ Quelques valeurs :
| $h$ | $1$ | $0{,}1$ | $0{,}01$ | $-0{,}01$ |
|---|---|---|---|---|
| taux $6+h$ | $7$ | $6{,}1$ | $6{,}01$ | $5{,}99$ |
Pour $h=1$, on retrouve le coefficient directeur de la sécante passant par $A(3\,;9)$ et $M(4\,;16)$ : $\frac{16-9}{4-3}=7$. Quand $h$ se rapproche de $0$, le taux se rapproche de $6$.
Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel $\ell$ quand $h$ tend vers $0$. Ce réel est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ et noté $f'(a)$ : $$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$ Dans l'exemple précédent, $6+h$ tend vers $6$ : la fonction carré est dérivable en $3$ et $f'(3)=6$.
La limite, une notion intuitive
En Première, la notion de limite est abordée de façon intuitive : « le taux tend vers $\ell$ » signifie qu'il devient aussi proche de $\ell$ que l'on veut dès que $h$ est assez proche de $0$, avec $h\neq 0$. On ne remplace jamais $h$ par $0$ dans le quotient de départ : on obtiendrait $\frac{0}{0}$, qui n'a pas de sens. Il faut d'abord simplifier par $h$.
Calculer un nombre dérivé avec la définition
Pour calculer $f'(a)$ à partir de la définition :
- Écrire $f(a+h)$ et le développer.
- Calculer et réduire la différence $f(a+h)-f(a)$ : elle doit pouvoir se factoriser par $h$.
- Diviser par $h$ ($h\neq 0$) et simplifier jusqu'à ce que $h$ ne figure plus seul au dénominateur.
- Chercher vers quel réel tend l'expression obtenue quand $h$ tend vers $0$. Si c'est un réel $\ell$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=\ell$.
Fonction inverse en 2
Soit $f(x)=\frac{1}{x}$ et $a=2$. Pour $h\neq 0$ proche de $0$ (donc $2+h\neq 0$) : $$f(2+h)-f(2)=\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}=\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}=\frac{-h}{2(2+h)}.$$ Donc $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{-1}{2(2+h)}.$$ Quand $h$ tend vers $0$, $2(2+h)$ tend vers $4$, donc le taux tend vers $-\frac{1}{4}$. Ainsi $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2)=-\frac{1}{4}$.
Vitesse instantanée
Un objet lâché sans vitesse initiale parcourt $d(t)=4{,}9t^2$ mètres en $t$ secondes. Entre les instants $2$ et $2+h$, la vitesse moyenne est $$\frac{d(2+h)-d(2)}{h}=\frac{4{,}9(4+4h+h^2)-4{,}9\times 4}{h}=\frac{4{,}9(4h+h^2)}{h}=19{,}6+4{,}9h.$$ Elle tend vers $19{,}6$ quand $h$ tend vers $0$ : la vitesse instantanée à l'instant $t=2$ s est $d'(2)=19{,}6$ m/s. Le nombre dérivé généralise la notion de vitesse instantanée.
La racine carrée en 0
La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$.
Non-dérivabilité de la racine carrée en 0
La fonction $f:x\mapsto\sqrt{x}$ est définie sur $[0\,;+\infty[$, donc on ne considère que des $h>0$. Pour $h>0$ : $$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h}\times\sqrt{h}}=\frac{1}{\sqrt{h}}.$$ Quand $h$ tend vers $0$, $\sqrt{h}$ tend vers $0$ en restant strictement positif, donc $\frac{1}{\sqrt{h}}$ devient aussi grand que l'on veut : pour $h=10^{-2}$ il vaut $10$, pour $h=10^{-6}$ il vaut $1000$. Le taux de variation tend vers $+\infty$ : il ne tend vers aucun nombre réel. La fonction racine carrée n'est donc pas dérivable en $0$.
Graphiquement, les sécantes deviennent de plus en plus raides : la courbe admet à l'origine une tangente verticale (l'axe des ordonnées), qui n'a pas de coefficient directeur.
2.Tangente à une courbe
Tangente en un point
Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ et $A(a\,;f(a))$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$. La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.
C'est la position limite des sécantes $(AM)$ lorsque le point $M$ de la courbe se rapproche de $A$. Près de $A$, la courbe et sa tangente sont presque confondues.
Équation de la tangente
Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $$y=f'(a)(x-a)+f(a).$$
Équation de la tangente
La tangente a pour coefficient directeur $f'(a)$ : elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et admet une équation réduite de la forme $y=f'(a)\,x+p$, où $p$ est un réel à déterminer.
Elle passe par $A(a\,;f(a))$, donc les coordonnées de $A$ vérifient l'équation : $$f(a)=f'(a)\times a+p,\quad\text{d'où}\quad p=f(a)-a\,f'(a).$$ L'équation s'écrit alors $$y=f'(a)\,x+f(a)-a\,f'(a)=f'(a)(x-a)+f(a).$$
Tangente à la parabole en 3
Pour $f(x)=x^2$ et $a=3$ : $f(3)=9$ et $f'(3)=6$ (calculé à la section précédente). La tangente au point $A(3\,;9)$ a pour équation $$y=6(x-3)+9,\quad\text{soit}\quad y=6x-9.$$ Contrôle : pour $x=3$, $6\times 3-9=9$, le point $A$ est bien sur la droite.
Déterminer une équation de tangente
- Calculer $f(a)$.
- Calculer $f'(a)$, par la définition ou avec les formules des sections suivantes.
- Remplacer dans $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
- Développer pour obtenir l'équation réduite $y=mx+p$.
- Contrôler que le point $A(a\,;f(a))$ vérifie l'équation.
Lire graphiquement un nombre dérivé
Le nombre $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$. Pour le lire :
- Repérer sur la tangente deux points $B$ et $C$ dont les coordonnées se lisent bien (souvent entières).
- Calculer $f'(a)=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}$.
Exemple : si la tangente au point d'abscisse $a$ passe par $B(1\,;2)$ et $C(3\,;-2)$, alors $f'(a)=\frac{-2-2}{3-1}=-2$.
Cas particulier : une tangente horizontale correspond à $f'(a)=0$.
Approximation affine
Pour $h$ proche de $0$, la tangente fournit une approximation de $f$ : $$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)\,h.$$ Avec $f(x)=x^2$, $a=3$ et $h=0{,}01$ : $3{,}01^2\approx 9+6\times 0{,}01=9{,}06$. La valeur exacte est $9{,}0601$. Cette approximation est très utilisée en physique.
3.Fonction dérivée et dérivées des fonctions usuelles
Fonction dérivée
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout réel $a$ de $I$. La fonction qui à tout $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ est la fonction dérivée de $f$, notée $f'$.
On étend cette définition à une réunion d'intervalles, par exemple $]-\infty\,;0[\,\cup\,]0\,;+\infty[$.
Fonction ou nombre
$f'$ est une fonction ; $f'(3)$ est un nombre. En physique, on rencontre aussi la notation $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ pour $f'$, qui rappelle qu'il s'agit d'une limite de quotient de variations.
Dérivées des fonctions usuelles
| Fonction $f$ | Fonction dérivée $f'$ | $f$ est dérivable sur |
|---|---|---|
| $f(x)=k$ ($k$ réel) | $f'(x)=0$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=mx+p$ | $f'(x)=m$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=x^2$ | $f'(x)=2x$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=x^3$ | $f'(x)=3x^2$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=x^n$ ($n$ entier, $n\geq 1$) | $f'(x)=nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=\frac{1}{x}$ | $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ | $]-\infty\,;0[$ et $]0\,;+\infty[$ |
| $f(x)=\frac{1}{x^n}$ ($n$ entier, $n\geq 1$) | $f'(x)=-\frac{n}{x^{n+1}}$ | $]-\infty\,;0[$ et $]0\,;+\infty[$ |
| $f(x)=\sqrt{x}$ | $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0\,;+\infty[$ |
En écrivant $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$, la formule $(x^n)'=nx^{n-1}$ reste valable pour tout entier relatif $n$ (sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ lorsque $n<0$) : par exemple $(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.
Dérivée de la fonction carré
Soit $a$ un réel et $h\neq 0$. Pour $f(x)=x^2$ : $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\frac{h(2a+h)}{h}=2a+h.$$ Quand $h$ tend vers $0$, $2a+h$ tend vers $2a$. Donc $f$ est dérivable en tout réel $a$ et $f'(a)=2a$ : la fonction carré est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=2x$.
Dérivée de la fonction inverse
Soit $a\neq 0$ et $h\neq 0$ assez proche de $0$ pour que $a+h$ soit non nul. Pour $f(x)=\frac{1}{x}$ : $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{h}\times\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}=\frac{-h}{h\,a(a+h)}=\frac{-1}{a(a+h)}.$$ Quand $h$ tend vers $0$, $a(a+h)$ tend vers $a^2$, qui est non nul. Le taux tend donc vers $-\frac{1}{a^2}$. La fonction inverse est dérivable en tout réel non nul et $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$.
Dérivée de la fonction racine carrée (complément)
Soit $a>0$ et $h\neq 0$ avec $a+h>0$. On multiplie par la quantité conjuguée : $$\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}=\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}=\frac{(a+h)-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}=\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}.$$ Quand $h$ tend vers $0$, $\sqrt{a+h}$ tend vers $\sqrt{a}$, donc le taux tend vers $\frac{1}{2\sqrt{a}}$. Ainsi $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour tout $x>0$.
Utiliser le tableau
- $f(x)=x^5$ : $f'(x)=5x^4$, donc $f'(-1)=5\times(-1)^4=5$.
- $g(x)=\frac{1}{x^3}$ : $g'(x)=-\frac{3}{x^4}$ sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, donc $g'(1)=-3$.
- $k(x)=\sqrt{x}$ : $k'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}$.
- $\ell(x)=-4x+7$ : $\ell'(x)=-4$ pour tout réel $x$. La courbe est une droite, elle est sa propre tangente en chacun de ses points.
Définie ne veut pas dire dérivable
La fonction racine carrée est définie sur $[0\,;+\infty[$ mais dérivable seulement sur $]0\,;+\infty[$. La fonction inverse n'est ni définie ni dérivable en $0$ : on ne parle de sa dérivée que sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$.
4.Opérations sur les fonctions dérivables
Somme, produit, inverse, quotient
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel.
| Opération | Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|---|
| Somme | $u+v$ | $u'+v'$ | |
| Produit par un réel | $ku$ | $ku'$ | |
| Produit | $uv$ | $u'v+uv'$ | |
| Inverse | $\frac{1}{v}$ | $-\frac{v'}{v^2}$ | $v$ ne s'annule pas sur $I$ |
| Quotient | $\frac{u}{v}$ | $\frac{u'v-uv'}{v^2}$ | $v$ ne s'annule pas sur $I$ |
Conséquences : une fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; un quotient de deux polynômes est dérivable sur chaque intervalle où son dénominateur ne s'annule pas.
Dérivée d'un produit
Soit $a\in I$ et $h\neq 0$ tel que $a+h\in I$. On ajoute et on retranche $u(a)v(a+h)$ : $$u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)=\big(u(a+h)-u(a)\big)v(a+h)+u(a)\big(v(a+h)-v(a)\big).$$ En divisant par $h$ : $$\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}=\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a+h)+u(a)\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h}.$$ Quand $h$ tend vers $0$ :
- $\frac{u(a+h)-u(a)}{h}$ tend vers $u'(a)$ et $\frac{v(a+h)-v(a)}{h}$ tend vers $v'(a)$, car $u$ et $v$ sont dérivables en $a$ ;
- $v(a+h)$ tend vers $v(a)$. En effet, $v(a+h)=v(a)+h\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h}$, et le produit $h\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h}$ tend vers $0\times v'(a)=0$.
Le taux de variation de $uv$ en $a$ tend donc vers $u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$. Ainsi $uv$ est dérivable en $a$ et $(uv)'(a)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$.
Du produit au quotient
La formule de l'inverse est admise. Celle du quotient s'en déduit en écrivant $\frac{u}{v}=u\times\frac{1}{v}$ et en appliquant la formule du produit : $$\left(\frac{u}{v}\right)'=u'\times\frac{1}{v}+u\times\left(-\frac{v'}{v^2}\right)=\frac{u'v}{v^2}-\frac{uv'}{v^2}=\frac{u'v-uv'}{v^2}.$$
Somme et produit
1. $f_1(x)=3x^4-5x^2+2x-7$ sur $\mathbb{R}$. C'est une somme : $$f_1'(x)=3\times 4x^3-5\times 2x+2=12x^3-10x+2.$$
2. $f_2(x)=(2x+1)\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. C'est un produit $uv$ avec $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$, $v(x)=\sqrt{x}$, $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ : $$f_2'(x)=2\sqrt{x}+(2x+1)\times\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+2x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{4x+2x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{6x+1}{2\sqrt{x}}.$$
Quotient et inverse
3. $f_3(x)=\frac{x-1}{x+2}$, dérivable sur $]-\infty\,;-2[$ et sur $]-2\,;+\infty[$. Avec $u(x)=x-1$, $u'(x)=1$, $v(x)=x+2$, $v'(x)=1$ : $$f_3'(x)=\frac{1\times(x+2)-(x-1)\times 1}{(x+2)^2}=\frac{3}{(x+2)^2}.$$
4. $f_4(x)=\frac{1}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ (le dénominateur vaut au moins $1$, il ne s'annule pas). Avec $v(x)=x^2+1$, $v'(x)=2x$ : $$f_4'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}.$$
Dérivée de $x\mapsto g(ax+b)$
Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$, et $a$, $b$ deux réels. La fonction $f:x\mapsto g(ax+b)$ est dérivable en tout réel $x$ tel que $ax+b\in J$, et $$f'(x)=a\,g'(ax+b).$$
Dérivée de $x\mapsto g(ax+b)$
Si $a=0$, $f$ est constante égale à $g(b)$, et $f'(x)=0=0\times g'(b)$. Supposons $a\neq 0$. Soit $x$ tel que $ax+b\in J$ et $h\neq 0$ assez proche de $0$. On pose $X=ax+b$ et $k=ah$, qui est non nul. Comme $\frac{1}{h}=\frac{a}{k}$ : $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{g(ax+b+ah)-g(ax+b)}{h}=a\times\frac{g(X+k)-g(X)}{k}.$$ Quand $h$ tend vers $0$, $k=ah$ tend vers $0$, donc $\frac{g(X+k)-g(X)}{k}$ tend vers $g'(X)$. Le taux de variation de $f$ tend vers $a\,g'(X)=a\,g'(ax+b)$.
Composée avec une fonction affine
5. $f_5(x)=(3x-2)^5$ sur $\mathbb{R}$. On a $f_5(x)=g(3x-2)$ avec $g(X)=X^5$, $g'(X)=5X^4$ et $a=3$ : $$f_5'(x)=3\times 5(3x-2)^4=15(3x-2)^4.$$
6. $f_6(x)=\sqrt{4-2x}$. La fonction racine carrée est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, et $4-2x>0\iff x<2$. Sur $]-\infty\,;2[$, avec $g(X)=\sqrt{X}$ et $a=-2$ : $$f_6'(x)=-2\times\frac{1}{2\sqrt{4-2x}}=-\frac{1}{\sqrt{4-2x}}.$$
Dériver une expression
- Repérer la structure globale de l'expression : somme, produit, quotient, ou forme $g(ax+b)$.
- Nommer les fonctions $u$ et $v$, puis écrire à part $u'$ et $v'$.
- Appliquer la formule sans rien simplifier.
- Simplifier en visant la forme utile pour la suite : en général une forme factorisée, pour étudier le signe. Pour un quotient, garder $v^2$ au dénominateur (il est strictement positif) et travailler sur le numérateur.
Pièges de calcul
- La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Avec $u(x)=v(x)=x$ : $u'(x)v'(x)=1$, alors que $(x\times x)'=(x^2)'=2x$.
- Un facteur constant n'oblige pas à utiliser la formule du produit : $(5x^3)'=5\times 3x^2=15x^2$. De même $\left(\frac{7}{x}\right)'=7\times\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{7}{x^2}$, sans formule du quotient.
- Un nombre comme $\pi^2$ ou $\sqrt{3}$ est une constante : sa dérivée est $0$.
5.Signe de la dérivée et sens de variation
Signe de la dérivée et variations
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- Si $f'(x)\geq 0$ pour tout $x\in I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
- Si $f'(x)\leq 0$ pour tout $x\in I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
- Si $f'(x)=0$ pour tout $x\in I$, alors $f$ est constante sur $I$.
De plus, si $f'(x)>0$ pour tout $x\in I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où $f'$ s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. De même avec $f'(x)<0$ et « strictement décroissante ».
Ce théorème est admis.
Réciproque
Si $f$ est dérivable et croissante sur un intervalle $I$, alors $f'(x)\geq 0$ pour tout $x\in I$. Si $f$ est dérivable et décroissante sur $I$, alors $f'(x)\leq 0$ pour tout $x\in I$.
Réciproque
Supposons $f$ croissante sur $I$. Soit $a\in I$ et $h\neq 0$ avec $a+h\in I$.
- Si $h>0$, alors $a+h>a$, donc $f(a+h)\geq f(a)$ : le numérateur du taux est positif ou nul et le dénominateur $h$ est strictement positif.
- Si $h<0$, alors $a+h<a$, donc $f(a+h)\leq f(a)$ : le numérateur est négatif ou nul et le dénominateur strictement négatif.
Dans les deux cas, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\geq 0$. Une quantité toujours positive ou nulle ne peut pas tendre vers un nombre strictement négatif, donc $f'(a)\geq 0$. Le cas décroissant se traite de la même façon en changeant le sens des inégalités.
L'hypothèse « intervalle » est indispensable
Pour $f(x)=\frac{1}{x}$, on a $f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ sur $]-\infty\,;0[\,\cup\,]0\,;+\infty[$. La fonction est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et décroissante sur $]0\,;+\infty[$, mais elle n'est pas décroissante sur la réunion : $-1<1$ et pourtant $f(-1)=-1<f(1)=1$. On conclut toujours intervalle par intervalle.
Étudier les variations d'une fonction
- Préciser l'ensemble sur lequel $f$ est dérivable.
- Calculer $f'(x)$.
- Mettre $f'(x)$ sous une forme dont on sait étudier le signe : produit de facteurs du premier degré, trinôme, quotient à dénominateur positif.
- Dresser le tableau de signes de $f'(x)$.
- En déduire le tableau de variations de $f$, complété par les valeurs de $f$ aux points où $f'$ change de signe (et aux bornes lorsqu'elles appartiennent à l'ensemble d'étude).
Une fonction polynôme de degré 3
Soit $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ sur $\mathbb{R}$.
$f$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et $$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3).$$ Le trinôme $x^2-2x-3$ a pour discriminant $\Delta=(-2)^2-4\times 1\times(-3)=16$, donc deux racines : $x_1=\frac{2-4}{2}=-1$ et $x_2=\frac{2+4}{2}=3$. Ainsi $f'(x)=3(x+1)(x-3)$, qui est du signe de $3$, donc positif, à l'extérieur des racines.
Valeurs utiles : $f(-1)=-1-3+9+5=10$ et $f(3)=27-27-27+5=-22$.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $3$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| signe de $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| variations de $f$ | ↗ | $10$ | ↘ | $-22$ | ↗ |
$f$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$, décroissante sur $[-1\,;3]$ et croissante sur $[3\,;+\infty[$.
Une fonction rationnelle
Pour $f_3(x)=\frac{x-1}{x+2}$, on a obtenu $f_3'(x)=\frac{3}{(x+2)^2}$. Ce quotient est strictement positif pour tout $x\neq -2$. Donc $f_3$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-2[$ et strictement croissante sur $]-2\,;+\infty[$.
Dérivée nulle en un point isolé
Pour $f(x)=x^3$, $f'(x)=3x^2$ est strictement positif sauf en $0$, où il s'annule. D'après le théorème, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Une annulation ponctuelle de $f'$ ne casse pas la stricte monotonie.
6.Extremums locaux
Maximum et minimum locaux
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$.
- $f$ admet un maximum local en $a$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $a$ tel que, pour tout $x\in J\cap I$, $f(x)\leq f(a)$.
- $f$ admet un minimum local en $a$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $a$ tel que, pour tout $x\in J\cap I$, $f(x)\geq f(a)$.
Un extremum local est un maximum local ou un minimum local. Lorsque l'inégalité est vraie pour tout $x$ de $I$, on parle du maximum (ou du minimum) de $f$ sur $I$.
Condition nécessaire
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a\in I$. Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors $f'(a)=0$. Graphiquement, la tangente en ce point est horizontale.
Condition nécessaire
Supposons que $f$ admette un maximum local en $a$. Pour $h\neq 0$ assez proche de $0$, $f(a+h)\leq f(a)$, donc $f(a+h)-f(a)\leq 0$.
- Pour $h>0$, le taux $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est négatif ou nul. Sa limite $f'(a)$ ne peut donc pas être strictement positive : $f'(a)\leq 0$.
- Pour $h<0$, le taux est positif ou nul. Sa limite ne peut pas être strictement négative : $f'(a)\geq 0$.
Donc $f'(a)=0$. Le raisonnement est le même pour un minimum local.
La réciproque est fausse
Pour $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$, mais $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : elle n'admet pas d'extremum en $0$. La tangente à l'origine est horizontale et la courbe la traverse. L'annulation de $f'$ ne suffit pas : il faut un changement de signe.
Condition suffisante
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a\in I$. Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $a$ :
- un maximum local si $f'$ passe du signe $+$ au signe $-$ ;
- un minimum local si $f'$ passe du signe $-$ au signe $+$.
Extremums locaux et extremums sur un intervalle
Reprenons $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$. D'après son tableau de variations, $f$ admet un maximum local égal à $10$ en $-1$ et un minimum local égal à $-22$ en $3$.
Ces extremums ne sont pas des extremums sur $\mathbb{R}$ : $f(6)=216-108-54+5=59>10$ et $f(-4)=-64-48+36+5=-71<-22$.
Sur l'intervalle $[-2\,;4]$ en revanche, on compare avec les bornes : $f(-2)=-8-12+18+5=3$ et $f(4)=64-48-36+5=-15$. Le maximum de $f$ sur $[-2\,;4]$ est $10$, atteint en $-1$ ; le minimum est $-22$, atteint en $3$.
Extremum atteint en une borne
La condition $f'(a)=0$ ne concerne que les points intérieurs à l'intervalle. Sur $[0\,;1]$, la fonction $x\mapsto x$ atteint son maximum en $1$ alors que sa dérivée vaut $1$. Dans un problème d'optimisation, il faut donc toujours examiner aussi les bornes.
7.Applications à l'optimisation
Optimiser, c'est trouver la valeur d'une variable qui rend une grandeur (aire, volume, coût, bénéfice, distance) la plus grande ou la plus petite possible. La dérivation ramène ce problème à une étude de variations.
Résoudre un problème d'optimisation
- Choisir la variable $x$ et préciser l'intervalle de ses valeurs possibles, d'après les contraintes concrètes.
- Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de $x$ : on obtient une fonction $f$.
- Étudier les variations de $f$ sur cet intervalle : dérivée, signe, tableau.
- Lire dans le tableau la valeur de $x$ pour laquelle l'extremum est atteint et la valeur de cet extremum, en comparant avec les bornes si besoin.
- Répondre à la question posée par une phrase, avec les unités.
Enclos de périmètre minimal
On veut construire un enclos rectangulaire d'aire $16$ m² en utilisant le moins de grillage possible.
Variable : la longueur $x$ en mètres, avec $x\in\,]0\,;+\infty[$. La largeur vaut $\frac{16}{x}$ et le périmètre $$P(x)=2\left(x+\frac{16}{x}\right)=2x+\frac{32}{x}.$$ $P$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $$P'(x)=2-\frac{32}{x^2}=\frac{2x^2-32}{x^2}=\frac{2(x-4)(x+4)}{x^2}.$$ Sur $]0\,;+\infty[$, $x+4>0$ et $x^2>0$, donc $P'(x)$ est du signe de $x-4$.
| $x$ | $0$ | $4$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de $P'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| variations de $P$ | ↘ | $16$ | ↗ |
Avec $P(4)=8+\frac{32}{4}=16$. Le périmètre est minimal pour $x=4$ : l'enclos est un carré de $4$ m de côté et il faut $16$ m de grillage.
Boîte de volume maximal
Dans une plaque carrée de carton de $30$ cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ cm, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle. On cherche le volume maximal.
Variable : $x\in\,]0\,;15[$, car il faut $30-2x>0$. La base est un carré de côté $30-2x$ et la hauteur vaut $x$ : $$V(x)=x(30-2x)^2.$$ C'est un produit $uv$ avec $u(x)=x$, $u'(x)=1$, et $v(x)=(30-2x)^2=g(-2x+30)$ où $g(X)=X^2$ : $v'(x)=-2\times 2(30-2x)=-4(30-2x)$. Donc $$V'(x)=(30-2x)^2-4x(30-2x)=(30-2x)\big[(30-2x)-4x\big]=(30-2x)(30-6x).$$ Comme $30-2x=2(15-x)$ et $30-6x=6(5-x)$, on obtient $V'(x)=12(15-x)(5-x)$. Sur $]0\,;15[$, $15-x>0$, donc $V'(x)$ est du signe de $5-x$.
| $x$ | $0$ | $5$ | $15$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de $V'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| variations de $V$ | ↗ | $2000$ | ↘ |
Avec $V(5)=5\times 20^2=2000$. Le volume est maximal lorsqu'on découpe des carrés de $5$ cm de côté ; il vaut alors $2000$ cm³, soit $2$ L.