Exercices corrigés : Dérivation (Première)

$f$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$. On dérive terme à terme : $$f'(x)=4\times 3x^2-2x+5=12x^2-2x+5.$$ Donc $$f'(1)=12\times 1^2-2\times 1+5=12-2+5=15.$$

La tangente au point d'abscisse $2$ a pour équation $y=f'(2)(x-2)+f(2)$, soit $$y=-1\times(x-2)+3=-x+2+3=-x+5.$$ Contrôle : pour $x=2$, $-2+5=3=f(2)$. Le point $(2\,;3)$ est bien sur la droite.

L'équation réduite de la tangente est $y=-x+5$.

Le nombre $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$, qui passe par $A(1\,;2)$ et $B(3\,;-4)$ : $$f'(1)=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-4-2}{3-1}=\frac{-6}{2}=-3.$$ Comme $f(1)=2$ (le point $A$ est sur la courbe), $T$ a pour équation $y=-3(x-1)+2$, soit $y=-3x+5$.

Contrôle avec $B$ : $-3\times 3+5=-4$.

1. $f(1)=2$. Pour $h\neq 0$ avec $1+h\neq 0$ : $$f(1+h)-f(1)=\frac{2}{1+h}-2=\frac{2-2(1+h)}{1+h}=\frac{-2h}{1+h}.$$ En divisant par $h\neq 0$ : $$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{-2}{1+h}.$$

2. Quand $h$ tend vers $0$, $1+h$ tend vers $1$, donc $\frac{-2}{1+h}$ tend vers $-2$. Ainsi $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=-2$.

Contrôle avec les formules : $f'(x)=2\times\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{2}{x^2}$, et $f'(1)=-2$.

3. $T$ a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)=-2(x-1)+2$, soit $$y=-2x+4.$$ Contrôle : pour $x=1$, $-2+4=2=f(1)$.

4. Avec $h=0{,}01$ : $$\frac{2}{1{,}01}=f(1+0{,}01)\approx f(1)+f'(1)\times 0{,}01=2-0{,}02=1{,}98.$$ On calcule $1{,}98\times 1{,}01=1{,}98+0{,}0198=1{,}9998$. Comme $1{,}98\times 1{,}01<2$, on a $1{,}98<\frac{2}{1{,}01}$ : la valeur approchée $1{,}98$ est par défaut (l'écart est d'environ $2\times 10^{-4}$).

1. Produit $uv$ avec $u(x)=x$, $u'(x)=1$, $v(x)=\sqrt{x}$, $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Pour $x>0$ : $$g_1'(x)=\sqrt{x}+x\times\frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{x},$$ car $\frac{x}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}\times\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$.

2. Le dénominateur $x^2+1$ vaut au moins $1$, il ne s'annule pas. Avec $u(x)=x$, $u'(x)=1$, $v(x)=x^2+1$, $v'(x)=2x$ : $$g_2'(x)=\frac{1\times(x^2+1)-x\times 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}.$$

3. Le trinôme $x^2-2x+5$ a pour discriminant $\Delta=(-2)^2-4\times 1\times 5=-16<0$. Il ne s'annule pas et garde le signe de son coefficient dominant $1$ : il est strictement positif sur $\mathbb{R}$. Donc $g_3=\frac{1}{v}$ avec $v(x)=x^2-2x+5$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $v'(x)=2x-2$ : $$g_3'(x)=-\frac{2x-2}{(x^2-2x+5)^2}=\frac{2(1-x)}{(x^2-2x+5)^2}.$$

4. Produit $uv$ avec $u(x)=x-1$, $u'(x)=1$, et $v(x)=(2x+3)^4=g(2x+3)$ où $g(X)=X^4$ : $v'(x)=2\times 4(2x+3)^3=8(2x+3)^3$. Donc $$g_4'(x)=(2x+3)^4+8(x-1)(2x+3)^3=(2x+3)^3\big[(2x+3)+8(x-1)\big]=(2x+3)^3(10x-5).$$ Comme $10x-5=5(2x-1)$, on obtient $g_4'(x)=5(2x-1)(2x+3)^3$.

1. $f$ est une fonction polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$ : $$f'(x)=-6x^2+6x+12=-6(x^2-x-2).$$ Le trinôme $x^2-x-2$ a pour discriminant $\Delta=1+8=9$, donc deux racines $\frac{1-3}{2}=-1$ et $\frac{1+3}{2}=2$. Ainsi $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ et $f'(x)=-6(x+1)(x-2)$.

2. $f'(x)$ est un trinôme de coefficient dominant $-6<0$, de racines $-1$ et $2$ : il est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.

Valeurs : $f(-1)=2+3-12-4=-11$ et $f(2)=-16+12+24-4=16$.

$f'$ s'annule en $-1$ en passant de $-$ à $+$ : $f$ admet un minimum local égal à $-11$ en $-1$. $f'$ s'annule en $2$ en passant de $+$ à $-$ : $f$ admet un maximum local égal à $16$ en $2$.

3. $f(0)=-4$ et $f'(0)=12$. La tangente a pour équation $y=12(x-0)-4$, soit $y=12x-4$.

4. Sur $[-2\,;3]$, $f$ est décroissante sur $[-2\,;-1]$, croissante sur $[-1\,;2]$, décroissante sur $[2\,;3]$. On calcule les valeurs aux bornes : $$f(-2)=16+12-24-4=0,\qquad f(3)=-54+27+36-4=5.$$ Le maximum est le plus grand des nombres $f(-2)=0$ et $f(2)=16$ : c'est $16$, atteint en $2$. Le minimum est le plus petit des nombres $f(-1)=-11$ et $f(3)=5$ : c'est $-11$, atteint en $-1$.

1. $M(x\,;\sqrt{x})$ et $A(3\,;0)$, donc $$AM^2=(x-3)^2+(\sqrt{x}-0)^2=x^2-6x+9+x=x^2-5x+9.$$

2. Les distances sont positives. Pour deux réels positifs $d_1$ et $d_2$, on a $d_1\leq d_2\iff d_1^2\leq d_2^2$ (la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$, la fonction racine carrée aussi). Donc $AM$ et $AM^2$ sont minimales pour la même valeur de $x$.

3. Soit $g(x)=x^2-5x+9$ sur $[0\,;+\infty[$. $g$ est dérivable et $g'(x)=2x-5$, négatif pour $x\leq\frac{5}{2}$, positif pour $x\geq\frac{5}{2}$. $$g\left(\tfrac{5}{2}\right)=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+9=\frac{25-50+36}{4}=\frac{11}{4}.$$

Le minimum de $g$ sur $[0\,;+\infty[$ est $\frac{11}{4}$, atteint en $\frac{5}{2}$. Le point cherché est $M_0\left(\frac{5}{2}\,;\sqrt{\frac{5}{2}}\right)$, avec $\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$. La distance minimale vaut $$AM_0=\sqrt{\frac{11}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}.$$

4. La fonction racine carrée est dérivable en $\frac{5}{2}>0$ et son nombre dérivé vaut $\frac{1}{2\sqrt{5/2}}=\frac{1}{\sqrt{4\times\frac{5}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$. Un vecteur directeur de la tangente est $\vec{u}\left(1\,;\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.

Par ailleurs $\overrightarrow{AM_0}\left(\frac{5}{2}-3\,;\frac{\sqrt{10}}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2}\,;\frac{\sqrt{10}}{2}\right)$. Le produit scalaire vaut $$\vec{u}\cdot\overrightarrow{AM_0}=1\times\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{\sqrt{10}}\times\frac{\sqrt{10}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0.$$ Les deux vecteurs sont orthogonaux : la tangente en $M_0$ est perpendiculaire à $(AM_0)$.

1. $f(a)=a^2$ et $f'(a)=2a$. La tangente $T_a$ a pour équation $y=2a(x-a)+a^2=2ax-2a^2+a^2$, soit $$y=2ax-a^2.$$

2. $P(1\,;-3)$ appartient à $T_a$ si et seulement si $-3=2a\times 1-a^2$, c'est-à-dire $a^2-2a-3=0$. Le discriminant vaut $\Delta=4+12=16$, d'où les racines $a=\frac{2-4}{2}=-1$ et $a=\frac{2+4}{2}=3$.

• Pour $a=-1$ : $T_{-1}: y=-2x-1$, point de contact $(-1\,;1)$.
• Pour $a=3$ : $T_3: y=6x-9$, point de contact $(3\,;9)$.

Contrôle : $-2\times 1-1=-3$ et $6\times 1-9=-3$. Il y a exactement deux tangentes passant par $P$.

3. $Q(1\,;2)$ appartient à $T_a$ si et seulement si $2=2a-a^2$, c'est-à-dire $a^2-2a+2=0$. Le discriminant vaut $\Delta=4-8=-4<0$ : aucune solution. Aucune tangente à $\mathcal{P}$ ne passe par $Q$.

Interprétation : le point de $\mathcal{P}$ d'abscisse $1$ a pour ordonnée $1$. Le point $Q$ est au-dessus de la parabole ($2>1$), dans la région « intérieure » de la parabole tournée vers le haut, tandis que $P$ est en dessous ($-3<1$). D'un point situé sous la parabole partent deux tangentes, d'un point situé au-dessus aucune.

1. a) $f(0)=\frac{3}{1}=3$ et $f(5)=\frac{25+3}{6}=\frac{28}{6}=\frac{14}{3}$.

b) Pour $x\in[0\,;5]$, $x+1\neq 0$ et $$x-1+\frac{4}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)+4}{x+1}=\frac{x^2-1+4}{x+1}=\frac{x^2+3}{x+1}=f(x).$$

2. a) $x\mapsto x-1$ a pour dérivée $1$. La fonction $x\mapsto\frac{4}{x+1}$ s'écrit $4g(x+1)$ avec $g(X)=\frac{1}{X}$, $g'(X)=-\frac{1}{X^2}$ et $a=1$ : sa dérivée est $-\frac{4}{(x+1)^2}$. Donc $$f'(x)=1-\frac{4}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-4}{(x+1)^2}=\frac{(x+1-2)(x+1+2)}{(x+1)^2}=\frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.$$

b) Sur $[0\,;5]$, $x+3>0$ et $(x+1)^2>0$ : $f'(x)$ est du signe de $x-1$. De plus $f(1)=\frac{4}{2}=2$.

c) Le minimum de $f$ sur $[0\,;5]$ est $2$, atteint en $1$. Le maximum est le plus grand des nombres $f(0)=3$ et $f(5)=\frac{14}{3}$ ; comme $\frac{14}{3}>\frac{9}{3}=3$, le maximum est $\frac{14}{3}$, atteint en $5$.

3. $f(3)=\frac{12}{4}=3$ et $f'(3)=\frac{6\times 2}{4^2}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$. Donc $T$ a pour équation $y=\frac{3}{4}(x-3)+3=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}+\frac{12}{4}$, soit $$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}.$$

4. La tangente au point d'abscisse $x$ est parallèle à $\Delta$ si et seulement si $f'(x)=\frac{1}{2}$. Pour $x\in[0\,;5]$, comme $(x+3)(x-1)=x^2+2x-3$ : $$\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}=\frac{1}{2}\iff 2x^2+4x-6=x^2+2x+1\iff x^2+2x-7=0.$$ Le discriminant vaut $\Delta=4+28=32$, et $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$. Les solutions sont $x=\frac{-2-4\sqrt{2}}{2}=-1-2\sqrt{2}$ et $x=-1+2\sqrt{2}$.

$-1-2\sqrt{2}<0$ n'appartient pas à $[0\,;5]$. Comme $2<2\sqrt{2}<3$ (car $4<8<9$), on a $1<-1+2\sqrt{2}<2$ : ce nombre appartient à $[0\,;5]$.

Il existe donc un seul point de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est parallèle à $\Delta$ : celui d'abscisse $-1+2\sqrt{2}$.