Fiche résumé : Dérivation (Première)

Taux de variation et nombre dérivé

• Taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ : $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, coefficient directeur de la sécante.
• $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, lorsque cette limite est un nombre réel.
• La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ (tangente verticale).

Tangente

• Coefficient directeur $f'(a)$ ; équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Tangente horizontale $\iff f'(a)=0$.

Dérivées usuelles

• $(k)'=0$ ; $(mx+p)'=m$ ; $(x^n)'=nx^{n-1}$ ($n\geq 1$).
• $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$ et $\left(\frac{1}{x^n}\right)'=-\frac{n}{x^{n+1}}$ sur $]-\infty\,;0[$ et $]0\,;+\infty[$.
• $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$.

Opérations ($u$, $v$ dérivables, $v$ non nulle pour l'inverse et le quotient)

• $(u+v)'=u'+v'$ ; $(ku)'=ku'$ ; $(uv)'=u'v+uv'$.
• $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$ ; $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
• $\big(g(ax+b)\big)'=a\,g'(ax+b)$.

Variations (sur un intervalle)

• $f'\geq 0\Rightarrow f$ croissante ; $f'\leq 0\Rightarrow f$ décroissante ; $f'=0\Rightarrow f$ constante.
• $f'>0$ sauf en un nombre fini de points $\Rightarrow f$ strictement croissante.

Extremums

• Extremum local en $a$ intérieur $\Rightarrow f'(a)=0$ ; réciproque fausse ($x^3$ en $0$).
• $f'$ s'annule en changeant de signe : $+$ puis $-$ donne un maximum local, $-$ puis $+$ un minimum local.
• Sur un intervalle fermé, comparer aussi les valeurs aux bornes.

Optimisation : variable et intervalle, fonction à optimiser, dérivée factorisée, tableau de signes et de variations, conclusion rédigée avec unités.

Automatismes (sans calculatrice)

• Dériver de tête un polynôme : $(x^2-3x+1)'=2x-3$.
• Lire $f'(a)$ comme coefficient directeur d'une tangente tracée.
• Écrire une tangente à partir de $f(a)$ et $f'(a)$.
• Passer du signe de $f'$ (tableau ou courbe de $f'$) aux variations de $f$.