QCM : Dérivation (Première)
La dérivation mesure la vitesse à laquelle une fonction varie en chaque point et fournit l'équation de la tangente à sa courbe. Elle donne surtout une méthode systématique pour obtenir le sens de variation d'une fonction et résoudre des problèmes d'optimisation.
Soit $f(x)=x^2$. Quel est le taux de variation de $f$ entre $1$ et $3$ ?
Le taux vaut $\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4$. C'est le coefficient directeur de la sécante passant par $(1\,;1)$ et $(3\,;9)$. La réponse $8$ oublie la division par $3-1=2$. Les réponses $2$ et $6$ sont les nombres dérivés $f'(1)$ et $f'(3)$ : on confond le taux de variation entre deux points avec le nombre dérivé en un point.
Soit $f(x)=(x^2+1)(2x-3)$ sur $\mathbb{R}$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
Avec $u(x)=x^2+1$, $u'(x)=2x$, $v(x)=2x-3$, $v'(x)=2$ : $f'(x)=2x(2x-3)+2(x^2+1)=4x^2-6x+2x^2+2=6x^2-6x+2$. Le piège principal est $4x=u'v'$ : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. $2x^2-6x-2$ vient d'un signe moins emprunté à la formule du quotient ($u'v-uv'$). $6x^2-4x-1$ vient d'une dérivée de $x^2+1$ écrite $2x+1$ : la dérivée de la constante $1$ est $0$.
Soit $f(x)=x^3-2x$. Quelle est l'équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ ?
On a $f(1)=1-2=-1$ et $f'(x)=3x^2-2$, donc $f'(1)=1$. La tangente a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)=1\times(x-1)-1$, soit $y=x-2$. Contrôle : pour $x=1$, $y=-1=f(1)$. La première proposition utilise $f'(x)$ au lieu du nombre $f'(1)$ : ce n'est même pas l'équation d'une droite. $y=x$ vient de l'écriture $(x+1)$ au lieu de $(x-1)$. $y=x-1$ oublie le terme $f(1)$.
Soit $g(x)=(1-3x)^4$ sur $\mathbb{R}$. Quelle est l'expression de $g'(x)$ ?
On a $g(x)=G(ax+b)$ avec $G(X)=X^4$, $G'(X)=4X^3$, $a=-3$ et $b=1$. Donc $g'(x)=a\,G'(1-3x)=-3\times 4(1-3x)^3=-12(1-3x)^3$. Le piège principal est l'oubli du facteur $a=-3$, qui donne $4(1-3x)^3$. La réponse $12(1-3x)^3$ oublie le signe de $a$. La réponse $-12(1-3x)^4$ oublie de diminuer l'exposant de $1$.
Soit $f(x)=\frac{1}{x^2+3}$ sur $\mathbb{R}$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
Le dénominateur $v(x)=x^2+3$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ et $v'(x)=2x$. La formule $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$ donne $f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+3)^2}$. La réponse $\frac{1}{2x}$ revient à prendre l'inverse de la dérivée, ce qui est faux. La réponse $-\frac{1}{(x^2+3)^2}$ applique la formule de $\frac{1}{x}$ en oubliant le facteur $v'$. La réponse $\frac{2x}{(x^2+3)^2}$ oublie le signe moins.
Soit $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$ sur $]1\,;+\infty[$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
Avec $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$, $v(x)=x-1$ et $v'(x)=1$ : $f'(x)=\frac{2(x-1)-(2x+1)\times 1}{(x-1)^2}=\frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2}=-\frac{3}{(x-1)^2}$. Le piège principal est l'inversion du numérateur ($uv'-u'v$) : on obtient $\frac{3}{(x-1)^2}$, et donc des variations fausses. La réponse $2$ correspond à $\frac{u'}{v'}$. La réponse $-\frac{3}{x-1}$ oublie d'élever $v$ au carré.
Sur un graphique, la tangente à la courbe d'une fonction $f$ au point d'abscisse $2$ passe par les points $B(0\,;5)$ et $C(4\,;-1)$. Combien vaut $f'(2)$ ?
$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente : $\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{-1-5}{4-0}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$. La réponse $-\frac{2}{3}$ divise la variation des abscisses par celle des ordonnées. La réponse $\frac{3}{2}$ provient d'une soustraction faite dans un ordre différent au numérateur et au dénominateur. La réponse $5$ est l'ordonnée à l'origine de la tangente, pas son coefficient directeur.
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x)=-2(x-1)(x+3)$. Quelle affirmation est vraie ?
$f'(x)$ est un trinôme de coefficient dominant $-2<0$ et de racines $-3$ et $1$. Il est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles. $f'$ passe de $-$ à $+$ en $-3$ : c'est un minimum local. $f'$ passe de $+$ à $-$ en $1$ : c'est un maximum local. La première proposition oublie l'effet du coefficient $-2$ sur le signe. La deuxième se trompe sur les racines : $x+3=0$ donne $x=-3$, et non $3$. La troisième ne tient compte que du signe du coefficient et ignore les facteurs $(x-1)(x+3)$.
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(2)=0$. Quelle affirmation est toujours vraie ?
$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $2$. S'il est nul, cette tangente est horizontale. Le piège principal est la première affirmation : $f'(a)=0$ ne suffit pas pour avoir un extremum, il faut que $f'$ change de signe. Contre-exemple : $x\mapsto(x-2)^3$, dont la dérivée s'annule en $2$ alors que la fonction est strictement croissante. $f(2)=0$ confond $f$ et $f'$. La tangente a pour équation $y=f(2)$ : elle ne passe par l'origine que si $f(2)=0$.
Soit $f(x)=x^2-4x$ sur l'intervalle $[0\,;5]$. Quel est le maximum de $f$ sur $[0\,;5]$ ?
$f'(x)=2x-4$ est négatif sur $[0\,;2]$ et positif sur $[2\,;5]$. Donc $f$ décroît de $f(0)=0$ à $f(2)=-4$, puis croît jusqu'à $f(5)=25-20=5$. On compare les valeurs aux bornes : le maximum vaut $5$, atteint en $5$. La réponse $-4$ est le minimum : l'annulation de $f'$ ne signale pas forcément un maximum. La réponse $0$ ne considère que la borne $0$. La réponse $2$ donne l'abscisse où $f'$ s'annule, pas une valeur de $f$. Dans un problème d'optimisation sur un intervalle fermé, il faut toujours examiner les bornes.