Erreurs fréquentes : Dérivation (Première)
La dérivation mesure la vitesse à laquelle une fonction varie en chaque point et fournit l'équation de la tangente à sa courbe. Elle donne surtout une méthode systématique pour obtenir le sens de variation d'une fonction et résoudre des problèmes d'optimisation.
Écrire $(uv)'=u'v'$.
La bonne formule est $(uv)'=u'v+uv'$. Contre-exemple immédiat : $(x\times x)'=(x^2)'=2x$, et non $1\times 1=1$.
Inverser l'ordre dans la formule du quotient et écrire $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{uv'-u'v}{v^2}$.
Le numérateur est $u'v-uv'$ : on commence par la dérivée du numérateur $u$. Une inversion change le signe de la dérivée, donc tout le tableau de variations.
Oublier le facteur $a$ dans la dérivée de $g(ax+b)$, par exemple $\big((3x-2)^5\big)'=5(3x-2)^4$.
$\big(g(ax+b)\big)'=a\,g'(ax+b)$, donc $\big((3x-2)^5\big)'=15(3x-2)^4$. De même $\big(\sqrt{4-2x}\big)'=\frac{-2}{2\sqrt{4-2x}}=-\frac{1}{\sqrt{4-2x}}$ : le signe moins vient de $a=-2$.
Écrire l'équation de tangente avec $f'(x)$ au lieu de $f'(a)$, par exemple $y=2x(x-3)+9$ pour $f(x)=x^2$ en $a=3$, ou écrire $(x+a)$ au lieu de $(x-a)$.
Le coefficient directeur est le nombre $f'(a)=f'(3)=6$, et la tangente est une droite : $y=6(x-3)+9$, soit $y=6x-9$. On contrôle que le point $(a\,;f(a))$ vérifie l'équation.
Conclure à un extremum dès que $f'(a)=0$.
Il faut que $f'$ s'annule en changeant de signe. Pour $x\mapsto x^3$, $f'(0)=0$ mais la fonction est strictement croissante : pas d'extremum en $0$.
Affirmer que $x\mapsto\frac{1}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ parce que sa dérivée est négative.
Le lien entre signe de $f'$ et variations ne vaut que sur un intervalle. La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ séparément, mais $f(-1)<f(1)$.
Écrire $(\sqrt{x})'=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ou $\left(\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^2}$.
$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$ et $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$. Contrôle rapide : la fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$, sa dérivée doit donc être négative.
Placer les flèches de $f$ en suivant les variations de $f'$, ou deviner le signe d'une dérivée laissée sous forme développée comme $3x^2-6x-9$.
C'est le signe de $f'$, pas ses variations, qui donne les flèches de $f$. On factorise $f'(x)$ (ici $3(x+1)(x-3)$) ou on utilise le signe d'un trinôme avant de conclure.