Première › Dérivation › Condition nécessaire
Condition nécessaire : énoncé (Première spé)
Propriété
Condition nécessaire
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a\in I$. Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors $f'(a)=0$. Graphiquement, la tangente en ce point est horizontale.
Démonstration : Condition nécessaire
Démonstration
Condition nécessaire
Supposons que $f$ admette un maximum local en $a$. Pour $h\neq 0$ assez proche de $0$, $f(a+h)\leq f(a)$, donc $f(a+h)-f(a)\leq 0$.
- Pour $h>0$, le taux $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est négatif ou nul. Sa limite $f'(a)$ ne peut donc pas être strictement positive : $f'(a)\leq 0$.
- Pour $h<0$, le taux est positif ou nul. Sa limite ne peut pas être strictement négative : $f'(a)\geq 0$.
Donc $f'(a)=0$. Le raisonnement est le même pour un minimum local.
Attention
La réciproque est fausse
Pour $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$, mais $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : elle n'admet pas d'extremum en $0$. La tangente à l'origine est horizontale et la courbe la traverse. L'annulation de $f'$ ne suffit pas : il faut un changement de signe.