Condition suffisante : énoncé (Première spé)
Condition suffisante
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a\in I$. Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $a$ :
- un maximum local si $f'$ passe du signe $+$ au signe $-$ ;
- un minimum local si $f'$ passe du signe $-$ au signe $+$.
Extremums locaux et extremums sur un intervalle
Reprenons $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$. D'après son tableau de variations, $f$ admet un maximum local égal à $10$ en $-1$ et un minimum local égal à $-22$ en $3$.
Ces extremums ne sont pas des extremums sur $\mathbb{R}$ : $f(6)=216-108-54+5=59>10$ et $f(-4)=-64-48+36+5=-71<-22$.
Sur l'intervalle $[-2\,;4]$ en revanche, on compare avec les bornes : $f(-2)=-8-12+18+5=3$ et $f(4)=64-48-36+5=-15$. Le maximum de $f$ sur $[-2\,;4]$ est $10$, atteint en $-1$ ; le minimum est $-22$, atteint en $3$.
Extremum atteint en une borne
La condition $f'(a)=0$ ne concerne que les points intérieurs à l'intervalle. Sur $[0\,;1]$, la fonction $x\mapsto x$ atteint son maximum en $1$ alors que sa dérivée vaut $1$. Dans un problème d'optimisation, il faut donc toujours examiner aussi les bornes.