Exercice corrigé : Retrouver une parabole à partir de ses tangentes

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$, $c$ sont des réels avec $a\neq 0$. On sait que :

• la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point $A(0\,;1)$ ;
• la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$ a pour coefficient directeur $3$ ;
• $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $1$.

1. Traduire ces trois informations par des égalités portant sur $f$ et $f'$.
2. En déduire $a$, $b$ et $c$.
3. Étudier les variations de $f$ et préciser son extremum.