Dérivées des fonctions usuelles : énoncé (Première spé)
Dérivées des fonctions usuelles
| Fonction $f$ | Fonction dérivée $f'$ | $f$ est dérivable sur |
|---|---|---|
| $f(x)=k$ ($k$ réel) | $f'(x)=0$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=mx+p$ | $f'(x)=m$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=x^2$ | $f'(x)=2x$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=x^3$ | $f'(x)=3x^2$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=x^n$ ($n$ entier, $n\geq 1$) | $f'(x)=nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=\frac{1}{x}$ | $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ | $]-\infty\,;0[$ et $]0\,;+\infty[$ |
| $f(x)=\frac{1}{x^n}$ ($n$ entier, $n\geq 1$) | $f'(x)=-\frac{n}{x^{n+1}}$ | $]-\infty\,;0[$ et $]0\,;+\infty[$ |
| $f(x)=\sqrt{x}$ | $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0\,;+\infty[$ |
En écrivant $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$, la formule $(x^n)'=nx^{n-1}$ reste valable pour tout entier relatif $n$ (sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ lorsque $n<0$) : par exemple $(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.
Démonstration : Dérivées des fonctions usuelles
Dérivée de la fonction carré
Soit $a$ un réel et $h\neq 0$. Pour $f(x)=x^2$ : $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\frac{h(2a+h)}{h}=2a+h.$$ Quand $h$ tend vers $0$, $2a+h$ tend vers $2a$. Donc $f$ est dérivable en tout réel $a$ et $f'(a)=2a$ : la fonction carré est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=2x$.
Démonstration : Dérivées des fonctions usuelles
Dérivée de la fonction inverse
Soit $a\neq 0$ et $h\neq 0$ assez proche de $0$ pour que $a+h$ soit non nul. Pour $f(x)=\frac{1}{x}$ : $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{h}\times\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}=\frac{-h}{h\,a(a+h)}=\frac{-1}{a(a+h)}.$$ Quand $h$ tend vers $0$, $a(a+h)$ tend vers $a^2$, qui est non nul. Le taux tend donc vers $-\frac{1}{a^2}$. La fonction inverse est dérivable en tout réel non nul et $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$.
Démonstration : Dérivées des fonctions usuelles
Dérivée de la fonction racine carrée (complément)
Soit $a>0$ et $h\neq 0$ avec $a+h>0$. On multiplie par la quantité conjuguée : $$\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}=\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}=\frac{(a+h)-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}=\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}.$$ Quand $h$ tend vers $0$, $\sqrt{a+h}$ tend vers $\sqrt{a}$, donc le taux tend vers $\frac{1}{2\sqrt{a}}$. Ainsi $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour tout $x>0$.
Utiliser le tableau
- $f(x)=x^5$ : $f'(x)=5x^4$, donc $f'(-1)=5\times(-1)^4=5$.
- $g(x)=\frac{1}{x^3}$ : $g'(x)=-\frac{3}{x^4}$ sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, donc $g'(1)=-3$.
- $k(x)=\sqrt{x}$ : $k'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}$.
- $\ell(x)=-4x+7$ : $\ell'(x)=-4$ pour tout réel $x$. La courbe est une droite, elle est sa propre tangente en chacun de ses points.
Définie ne veut pas dire dérivable
La fonction racine carrée est définie sur $[0\,;+\infty[$ mais dérivable seulement sur $]0\,;+\infty[$. La fonction inverse n'est ni définie ni dérivable en $0$ : on ne parle de sa dérivée que sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$.