La racine carrée en 0 : énoncé (Première spé)

La fonction $f:x\mapsto\sqrt{x}$ est définie sur $[0\,;+\infty[$, donc on ne considère que des $h>0$. Pour $h>0$ : $$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h}\times\sqrt{h}}=\frac{1}{\sqrt{h}}.$$ Quand $h$ tend vers $0$, $\sqrt{h}$ tend vers $0$ en restant strictement positif, donc $\frac{1}{\sqrt{h}}$ devient aussi grand que l'on veut : pour $h=10^{-2}$ il vaut $10$, pour $h=10^{-6}$ il vaut $1000$. Le taux de variation tend vers $+\infty$ : il ne tend vers aucun nombre réel. La fonction racine carrée n'est donc pas dérivable en $0$.

Graphiquement, les sécantes deviennent de plus en plus raides : la courbe admet à l'origine une tangente verticale (l'axe des ordonnées), qui n'a pas de coefficient directeur.