Nombre dérivé : définition (Première spé)
Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel $\ell$ quand $h$ tend vers $0$. Ce réel est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ et noté $f'(a)$ : $$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$ Dans l'exemple précédent, $6+h$ tend vers $6$ : la fonction carré est dérivable en $3$ et $f'(3)=6$.
La limite, une notion intuitive
En Première, la notion de limite est abordée de façon intuitive : « le taux tend vers $\ell$ » signifie qu'il devient aussi proche de $\ell$ que l'on veut dès que $h$ est assez proche de $0$, avec $h\neq 0$. On ne remplace jamais $h$ par $0$ dans le quotient de départ : on obtiendrait $\frac{0}{0}$, qui n'a pas de sens. Il faut d'abord simplifier par $h$.
S’entraîner
- Automatisme : lire un nombre dérivé sur une tangente
- Taux de variation et nombre dérivé d'un trinôme
- Fonction 2/x : nombre dérivé, tangente et approximation
- Retrouver une parabole à partir de ses tangentes
- Type épreuve : bénéfice maximal d'une entreprise