Calculer un nombre dérivé avec la définition : méthode (Première spé)
Calculer un nombre dérivé avec la définition
Pour calculer $f'(a)$ à partir de la définition :
- Écrire $f(a+h)$ et le développer.
- Calculer et réduire la différence $f(a+h)-f(a)$ : elle doit pouvoir se factoriser par $h$.
- Diviser par $h$ ($h\neq 0$) et simplifier jusqu'à ce que $h$ ne figure plus seul au dénominateur.
- Chercher vers quel réel tend l'expression obtenue quand $h$ tend vers $0$. Si c'est un réel $\ell$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=\ell$.
Fonction inverse en 2
Soit $f(x)=\frac{1}{x}$ et $a=2$. Pour $h\neq 0$ proche de $0$ (donc $2+h\neq 0$) : $$f(2+h)-f(2)=\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}=\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}=\frac{-h}{2(2+h)}.$$ Donc $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{-1}{2(2+h)}.$$ Quand $h$ tend vers $0$, $2(2+h)$ tend vers $4$, donc le taux tend vers $-\frac{1}{4}$. Ainsi $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2)=-\frac{1}{4}$.
Vitesse instantanée
Un objet lâché sans vitesse initiale parcourt $d(t)=4{,}9t^2$ mètres en $t$ secondes. Entre les instants $2$ et $2+h$, la vitesse moyenne est $$\frac{d(2+h)-d(2)}{h}=\frac{4{,}9(4+4h+h^2)-4{,}9\times 4}{h}=\frac{4{,}9(4h+h^2)}{h}=19{,}6+4{,}9h.$$ Elle tend vers $19{,}6$ quand $h$ tend vers $0$ : la vitesse instantanée à l'instant $t=2$ s est $d'(2)=19{,}6$ m/s. Le nombre dérivé généralise la notion de vitesse instantanée.
S’entraîner
- Automatisme : dériver de tête un polynôme
- Automatisme : tangente à partir de f(a) et f'(a)
- Automatisme : lire un nombre dérivé sur une tangente
- Taux de variation et nombre dérivé d'un trinôme
- Fonction 2/x : nombre dérivé, tangente et approximation