Erreurs fréquentes : Analyse asymptotique (Prépa, 1re année)
Ce chapitre fournit les outils pour décrire le comportement d'une suite ou d'une fonction au voisinage d'un point ou de l'infini : comparer, trouver un équivalent, développer à un ordre donné. Ces outils servent ensuite partout, du calcul de limites à l'étude des séries, des intégrales et des équations différentielles.
Additionner des équivalents : écrire $\sqrt{n+1}-\sqrt n\sim\sqrt n-\sqrt n=0$, ou $\cos x-1\sim1-1$.
L'équivalence est compatible avec produit et quotient, jamais avec la somme. En cas de compensation, on utilise une quantité conjuguée ou un développement limité pour atteindre le premier terme non nul.
Composer un équivalent par une fonction : déduire $e^{u_n}\sim e^{v_n}$ de $u_n\sim v_n$, ou $u_n^n\sim v_n^n$.
On a $e^{u_n}\sim e^{v_n}$ si et seulement si $u_n-v_n\to0$, ce qui est une condition différente. Pour une puissance d'exposant variable, on passe à la forme $\exp(n\ln u_n)$ et on développe $n\ln u_n$.
Écrire $u_n\sim0$ pour dire que $u_n$ tend vers $0$.
$u_n\sim0$ signifie que $u_n$ est nul à partir d'un certain rang. Pour une limite nulle on écrit $u_n\to0$ ou $u_n=o(1)$, et on cherche un équivalent non nul du type $c\,v_n$.
Substituer dans un DL en $0$ une quantité qui ne tend pas vers $0$, par exemple remplacer $y$ par $\cos x$ dans le DL de $e^y$.
La composition exige $u(x)\to0$. On se ramène à ce cas : $e^{\cos x}=e\cdot e^{\cos x-1}$, $\ln(2+x)=\ln2+\ln\left(1+\frac x2\right)$.
Croire que $o(x^n)-o(x^n)=0$, ou garder des termes de degré supérieur à $n$ à côté d'un $o(x^n)$.
$o(x^n)-o(x^n)=o(x^n)$. Un terme $cx^{n+1}$ écrit à côté de $o(x^n)$ n'a aucune valeur : il est absorbé par le reste. On tronque systématiquement.
Perdre des ordres sans le voir : calculer $\frac x{\sin x}$ à l'ordre 2 avec $\sin x=x+o(x^2)$, ou $\frac{\ln(1+x)}x$ avec un DL de $\ln$ au même ordre que le résultat voulu.
Diviser par $x$ fait perdre un ordre. On détermine d'abord les premiers termes non nuls, puis on développe chaque morceau à l'ordre nécessaire : ici $\sin$ à l'ordre 3 pour obtenir $\frac x{\sin x}=1+\frac{x^2}6+o(x^2)$.
Dériver un DL sans justification, ou en déduire l'existence de $f''(a)$ à partir d'un $\mathrm{DL}_2(a)$.
Le DL de $f'$ est la dérivée de celui de $f$ seulement si l'on sait que $f'$ admet un DL (par exemple $f$ de classe $\mathcal C^n$). Le contre-exemple $x^3\sin\frac1x$ montre qu'un $\mathrm{DL}_2(0)$ n'implique pas la dérivabilité seconde. Le sens sûr est la primitivation.
Oublier la constante en primitivant un DL, par exemple écrire $\arctan x=x-\frac{x^3}3+\dots$ pour $x\mapsto\arctan x+\frac\pi4$.
La primitivation donne $f(x)=f(a)+\sum\frac{a_k}{k+1}(x-a)^{k+1}+o\big((x-a)^{n+1}\big)$ : le terme constant est $f(a)$, à calculer à part.