Fiche résumé : Analyse asymptotique (Prépa, 1re année)

Ce chapitre fournit les outils pour décrire le comportement d'une suite ou d'une fonction au voisinage d'un point ou de l'infini : comparer, trouver un équivalent, développer à un ordre donné. Ces outils servent ensuite partout, du calcul de limites à l'étude des séries, des intégrales et des équations différentielles.

$u_n=o(v_n)$ : $u_n=\varepsilon_nv_n$ avec $\varepsilon_n\to0$ ; si $v_n\neq0$, $\frac{u_n}{v_n}\to0$. $u_n=O(v_n)$ : $\frac{u_n}{v_n}$ bornée. $u_n\sim v_n$ : $u_n-v_n=o(v_n)$, soit $\frac{u_n}{v_n}\to1$. Mêmes définitions pour les fonctions au voisinage de $a$.
Règles : $o(v)+o(v)=o(v)$, $w\,o(v)=o(wv)$, transitivité. $u\sim v\iff u=v+o(v)$. Deux suites équivalentes ont même limite et même signe à partir d'un rang.
$\sim$ passe au produit, au quotient, aux puissances d'exposant fixe, à la substitution $x=\varphi(t)$ avec $\varphi(t)\to a$. Interdit : somme, composition à gauche ($e^u$, $\ln u$ sans vérification), exposant variable, écrire $\sim0$.
Croissances comparées : $(\ln n)^\alpha=o(n^\beta)$, $n^\beta=o(a^n)$ ($a>1$), $a^n=o(n!)$, $n!=o(n^n)$.
Équivalents en $0$ : $\sin x$, $\tan x$, $\arctan x$, $\operatorname{sh}x$, $\ln(1+x)$, $e^x-1\sim x$ ; $1-\cos x\sim\frac{x^2}2$ ; $(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x$.
DL : $f(x)=\sum_{k=0}^na_k(x-a)^k+o\big((x-a)^n\big)$. Unicité, troncature, parité. $\mathrm{DL}_0\iff$ continuité, $\mathrm{DL}_1\iff$ dérivabilité ; pas de lien avec $f''$ à l'ordre 2.
Forme normalisée : premier coefficient non nul $a_p$ $\Rightarrow$ $f(x)\sim a_p(x-a)^p$.
Primitivation : $f(x)=f(a)+\sum\frac{a_k}{k+1}(x-a)^{k+1}+o\big((x-a)^{n+1}\big)$. Taylor-Young ($f$ de classe $\mathcal C^n$) : $f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o\big((x-a)^n\big)$.
DL usuels en $0$ : $e^x=\sum\frac{x^k}{k!}$ ; $\cos x=\sum(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$ ; $\sin x=\sum(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ ; $\operatorname{ch}$, $\operatorname{sh}$ : idem sans signes ; $\frac1{1-x}=\sum x^k$ ; $\frac1{1+x}=\sum(-1)^kx^k$ ; $\ln(1+x)=\sum_{k\geq1}(-1)^{k-1}\frac{x^k}k$ ; $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\dots$ ; $\arctan x=\sum(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$ ; $\tan x=x+\frac{x^3}3+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$ ; $\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+o(x^2)$.
Opérations : somme ; produit tronqué (ordres : $f$ à l'ordre $n-q$, $g$ à l'ordre $n-p$) ; composition seulement si $u\to0$ ; inverse par $\frac1{1+v}$ avec $v\to0$ ; division par $x^p$ = perte de $p$ ordres.
DL en $a$ : poser $x=a+h$ ; en $\pm\infty$ : poser $h=\frac1x$.
Tangente : $y=a_0+a_1(x-a)$ ; position donnée par le signe de $a_p(x-a)^p$ ($p$ pair : même côté ; $p$ impair : inflexion).
Asymptote : $f(x)=\alpha x+\beta+\frac\gamma{x^k}+o\left(\frac1{x^k}\right)$, position donnée par le signe de $\frac\gamma{x^k}$.
Suites : $\left(1+\frac1n\right)^n=e-\frac e{2n}+o\left(\frac1n\right)$ ; suite implicite : encadrer, réécrire, réinjecter.