QCM : Analyse asymptotique (Prépa, 1re année)
Ce chapitre fournit les outils pour décrire le comportement d'une suite ou d'une fonction au voisinage d'un point ou de l'infini : comparer, trouver un équivalent, développer à un ordre donné. Ces outils servent ensuite partout, du calcul de limites à l'étude des séries, des intégrales et des équations différentielles.
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles non nulles telles que $u_n\sim v_n$. Laquelle des affirmations suivantes est toujours vraie ?
L'équivalence est compatible avec le produit, donc $u_n^2=u_n\cdot u_n\sim v_n\cdot v_n$. Les autres affirmations sont fausses en général. Composer par $\exp$ est interdit : $n+1\sim n$ mais $e^{n+1}/e^n=e\neq1$. Le même exemple montre que $u_n-v_n$ ne tend pas forcément vers $0$. Ajouter une constante revient à additionner des équivalents : avec $u_n=-1+\frac1n$ et $v_n=-1+\frac1{n^2}$, on a $u_n\sim v_n$ mais $u_n+1=\frac1n$ n'est pas équivalent à $v_n+1=\frac1{n^2}$.
Un équivalent simple de $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$ est :
Avec la quantité conjuguée, $u_n=\dfrac{(n+1)-(n-1)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=\dfrac2{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}$. Le dénominateur est équivalent à $2\sqrt n$, donc $u_n\sim\dfrac1{\sqrt n}$. Répondre $0$ vient de la soustraction des équivalents $\sqrt n-\sqrt n$, opération interdite, et $u_n\sim0$ signifierait que $u_n$ est nul à partir d'un rang. Le choix $\frac1{2\sqrt n}$ vient d'un oubli du numérateur $2$, par confusion avec $\sqrt{n+1}-\sqrt n$.
Le développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x\mapsto\dfrac1{\sqrt{1-x}}$ est :
On utilise $(1+u)^\alpha=1+\alpha u+\frac{\alpha(\alpha-1)}2u^2+o(u^2)$ avec $\alpha=-\frac12$ et $u=-x$. On a $\alpha u=\frac x2$ et $\frac{\alpha(\alpha-1)}2=\frac{(-\frac12)(-\frac32)}2=\frac38$, avec $u^2=x^2$. Le premier choix oublie le signe de la substitution $u=-x$ : c'est le DL de $\frac1{\sqrt{1+x}}$. Le deuxième confond avec $\alpha=\frac12$. Le troisième oublie la division par $2!$.
La limite en $0$ de $\dfrac{\sin x-x}{x^3}$ vaut :
On a $\sin x=x-\frac{x^3}6+o(x^3)$, donc $\sin x-x=-\frac{x^3}6+o(x^3)$ et le quotient tend vers $-\frac16$. La réponse $0$ vient de l'usage de $\sin x\sim x$ suivi d'une soustraction d'équivalents : $x-x=0$. Cette compensation impose d'aller chercher le terme d'ordre $3$. Le choix $\frac16$ correspond à une erreur de signe dans le DL de $\sin$.
La limite de $\left(1+\dfrac1n\right)^{n^2}e^{-n}$ quand $n\to+\infty$ vaut :
On écrit $\left(1+\frac1n\right)^{n^2}=\exp\left(n^2\ln\left(1+\frac1n\right)\right)$. Or $n^2\ln\left(1+\frac1n\right)=n^2\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)\right)=n-\frac12+o(1)$. L'expression vaut donc $\exp\left(-\frac12+o(1)\right)$, qui tend vers $e^{-1/2}$. Le piège $1$ vient de l'idée que $\left(1+\frac1n\right)^{n^2}$ se comporte comme $e^n$ : on a gardé le premier terme $n$ dans l'exponentielle, mais il faut aussi le terme constant $-\frac12$. Le choix $e^{1/2}$ vient d'une erreur de signe dans le DL de $\ln(1+x)$.
On veut le développement limité à l'ordre $4$ en $0$ de $x\mapsto\dfrac{\ln(1+x)}x$. À quel ordre suffit-il de développer $\ln(1+x)$ ?
Diviser par $x$ fait perdre un ordre : $\frac{o(x^5)}x=o(x^4)$. Il faut donc partir de $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\frac{x^5}5+o(x^5)$. On obtient alors $\frac{\ln(1+x)}x=1-\frac x2+\frac{x^2}3-\frac{x^3}4+\frac{x^4}5+o(x^4)$. Développer à l'ordre $4$ est l'erreur classique : on n'obtient qu'un $o(x^3)$. L'ordre $6$ n'est pas faux, mais il est inutile.
Au voisinage de $0$, la courbe de $f:x\mapsto\ln(1+x)$ :
On a $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+o(x^2)$. La tangente en $0$ est $y=x$, et $f(x)-x\sim-\frac{x^2}2$. Le premier terme non nul après le degré $1$ est de degré pair, avec un coefficient négatif : la courbe reste localement en dessous de sa tangente. Conclure à un point d'inflexion revient à confondre la parité de l'exposant. La droite $y=1+x$ vient d'une confusion avec la tangente de $e^x$ en $0$.
En $+\infty$, la courbe de $f:x\mapsto\sqrt{x^2+x}$ admet :
Pour $x>0$, $f(x)=x\sqrt{1+\frac1x}$. Avec $\sqrt{1+h}=1+\frac h2-\frac{h^2}8+o(h^2)$ et $h=\frac1x$, on obtient $f(x)=x+\frac12-\frac1{8x}+o\left(\frac1x\right)$. L'asymptote est $y=x+\frac12$ et $f(x)-\left(x+\frac12\right)\sim-\frac1{8x}<0$ : la courbe est en dessous. Le choix $y=x$ vient de l'équivalent $f(x)\sim x$, qui ne donne pas l'ordonnée à l'origine. Le choix $y=x+1$ oublie le facteur $\frac12$ du DL de la racine.
On suppose que $f$ admet un développement limité à l'ordre $2$ en $0$, avec $f$ définie en $0$. On peut en déduire que :
Par troncature, $f$ admet un $\mathrm{DL}_1(0)$, ce qui équivaut à la dérivabilité en $0$. Le reste est faux : pour $f(x)=x^3\sin\frac1x$ avec $f(0)=0$, le $\mathrm{DL}_2(0)$ est nul, alors que $f'$ n'est pas dérivable en $0$. Cette fonction n'est donc ni deux fois dérivable en $0$, ni de classe $\mathcal C^2$, et $f'$ n'admet pas de $\mathrm{DL}_1(0)$. Le piège est de lire la formule de Taylor-Young à l'envers.
Le développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x\mapsto e^{\cos x}$ est :
Comme $\cos x\to1$ et non vers $0$, on écrit $e^{\cos x}=e\cdot e^{u}$ avec $u=\cos x-1=-\frac{x^2}2+o(x^2)$. Alors $e^u=1+u+o(x^2)$, d'où $e^{\cos x}=e-\frac e2x^2+o(x^2)$. Le choix $\frac52-x^2$ vient de la substitution directe de $\cos x$ dans $1+y+\frac{y^2}2$, qui est interdite car $\cos x$ ne tend pas vers $0$. Le choix $e-\frac{x^2}2$ oublie de multiplier tout le développement par $e$.