Erreurs fréquentes : Dérivabilité (Prépa, 1re année)
Ce chapitre fournit les outils pour étudier localement une fonction (tangente, extremum), puis pour transformer une information sur la dérivée en information globale sur la fonction : monotonie, inégalités, encadrements. Les théorèmes de Rolle et des accroissements finis, la formule de Leibniz et la convexité servent ensuite dans toute l'analyse : développements limités, intégration, équations différentielles, suites récurrentes.
Conclure à un extremum local dès que $f'(a)=0$.
La condition $f'(a)=0$ est seulement nécessaire, en un point intérieur. $x \mapsto x^3$ a une dérivée nulle en $0$ sans extremum. Pour conclure, il faut étudier le signe de $f'$ autour de $a$ (changement de signe) ou le signe de $f(x)-f(a)$.
Chercher les extremums uniquement parmi les zéros de $f'$, en oubliant les bornes de l'intervalle et les points de non-dérivabilité.
La condition nécessaire ne vaut qu'aux points intérieurs où $f$ est dérivable. Sur $[a,b]$, les extremums peuvent être atteints en $a$, en $b$ ou en un point où $f$ n'est pas dérivable (comme $|x|$ en $0$) : on examine ces points séparément.
Croire qu'une fonction dérivable a une dérivée continue, ou appliquer le théorème de la limite de la dérivée « à l'envers » en concluant que $f$ n'est pas dérivable en $a$ parce que $f'$ n'a pas de limite.
$x \mapsto x^2\sin\frac{1}{x}$ (prolongée par $0$) est dérivable en $0$ avec $f'(0)=0$, alors que $f'$ n'a pas de limite en $0$. Quand $f'$ n'a pas de limite, on revient au taux d'accroissement.
Appliquer le théorème de la limite de la dérivée sans vérifier la continuité de $f$ en $a$.
La continuité en $a$ est une hypothèse indispensable : la fonction égale à $1$ sur $]0,+\infty[$ et à $0$ en $0$ a une dérivée nulle sur $]0,+\infty[$ mais n'est pas dérivable en $0$. On vérifie toujours la continuité en premier.
Appliquer le théorème de Rolle ou l'égalité des accroissements finis à une fonction à valeurs complexes.
Ces deux résultats sont faux dans $\mathbb{C}$ : $t \mapsto e^{it}$ prend la même valeur en $0$ et $2\pi$ sans que sa dérivée s'annule. On les applique à $\mathrm{Re}\,f$ et $\mathrm{Im}\,f$ séparément, ou on utilise l'inégalité des accroissements finis, valable pour une fonction complexe de classe $\mathcal{C}^1$.
Écrire $(fg)^{(n)}=f^{(n)}g^{(n)}$, ou oublier les coefficients binomiaux dans la formule de Leibniz.
La formule correcte est $(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$. Contrôle rapide : pour $n=1$, on doit retrouver $f'g+fg'$, et pour $n=2$, $f''g+2f'g'+fg''$.
Écrire $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(y)}$, ou oublier l'hypothèse $f'\neq 0$.
La formule est $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ : la dérivée de $f$ est prise au point antécédent. Aux points $y=f(a)$ où $f'(a)=0$, $f^{-1}$ n'est pas dérivable (tangente verticale), comme $\arcsin$ en $\pm 1$.
Justifier qu'une fonction est croissante par $f' \ge 0$ sur une réunion d'intervalles, ou affirmer « $f$ convexe donc $f'' \ge 0$ » sans hypothèse de dérivabilité.
Le lien entre signe de $f'$ et monotonie n'est valable que sur un intervalle ($-\frac{1}{x}$ a une dérivée positive sur $\mathbb{R}^*$ sans y être croissante). Les caractérisations de la convexité par $f'$ croissante ou $f'' \ge 0$ supposent $f$ dérivable, resp. deux fois dérivable : $|x|$ est convexe sans être dérivable en $0$.