Dérivabilité
Ce chapitre fait partie du programme de Prépa, 1re année.
Ce chapitre fournit les outils pour étudier localement une fonction (tangente, extremum), puis pour transformer une information sur la dérivée en information globale sur la fonction : monotonie, inégalités, encadrements. Les théorèmes de Rolle et des accroissements finis, la formule de Leibniz et la convexité servent ensuite dans toute l'analyse : développements limités, intégration, équations différentielles, suites récurrentes.
Prérequis
- Limites de fonctions, opérations sur les limites, composition des limites, caractérisation séquentielle — Revoir Limites de fonctions
- Continuité, théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes atteintes sur un segment
- Théorème de la bijection (une fonction continue strictement monotone sur un intervalle a une réciproque continue)
- Dérivées des fonctions usuelles (exp, ln, puissances, fonctions trigonométriques et leurs réciproques)
- Coefficients binomiaux et formule de Pascal, raisonnement par récurrence
À la fin du chapitre, on sait
- Définir la dérivabilité par le taux d'accroissement ou par un développement limité d'ordre 1, et l'étudier en un point délicat
- Démontrer les formules de dérivation d'un produit, d'une composée et d'une réciproque
- Énoncer et démontrer la condition nécessaire d'extremum local, le théorème de Rolle, l'égalité et l'inégalité des accroissements finis
- Relier le signe de la dérivée à la monotonie et utiliser le théorème de la limite de la dérivée
- Manipuler les classes $\mathcal{C}^n$ et calculer des dérivées $n$-ièmes avec la formule de Leibniz
- Caractériser les fonctions convexes (pentes, dérivée, dérivée seconde, tangentes) et en tirer des inégalités
1.Dérivée en un point, fonction dérivée
Dans tout le chapitre, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ contenant au moins deux points, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $f : I \to \mathbb{K}$. Les résultats qui utilisent l'ordre (extremum, Rolle, accroissements finis, monotonie, convexité) concernent les fonctions à valeurs réelles.
Taux d'accroissement, nombre dérivé
Soit $a \in I$. Le taux d'accroissement de $f$ en $a$ est la fonction $$\tau_a : x \in I \setminus \{a\} \longmapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ On dit que $f$ est dérivable en $a$ si $\tau_a$ admet une limite finie en $a$. Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$ : $$f'(a)=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
Caractérisation par un développement limité d'ordre 1
$f$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe $\ell \in \mathbb{K}$ et une fonction $\varepsilon$ de limite nulle en $0$ tels que, pour tout $h$ avec $a+h \in I$ : $$f(a+h)=f(a)+\ell h+h\,\varepsilon(h).$$ On écrit $f(a+h)=f(a)+\ell h+o(h)$. Dans ce cas $\ell=f'(a)$.
Preuve
Si $f$ est dérivable en $a$, on pose $\varepsilon(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)$ pour $h \neq 0$ et $\varepsilon(0)=0$. Alors $\varepsilon(h) \to 0$ et l'égalité est vraie avec $\ell=f'(a)$ (y compris pour $h=0$).
Réciproquement, si l'égalité est vraie, pour $h \neq 0$ on a $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\ell+\varepsilon(h) \xrightarrow[h \to 0]{} \ell$. Donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=\ell$.
Dérivable implique continue
Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
Preuve
Pour $x \neq a$, $f(x)-f(a)=(x-a)\,\tau_a(x)$. Quand $x \to a$, $x-a \to 0$ et $\tau_a(x) \to f'(a)$ qui est fini. Le produit tend vers $0 \times f'(a)=0$, donc $f(x) \to f(a)$.
La réciproque est fausse
La fonction $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ mais pas dérivable en $0$ : son taux d'accroissement vaut $1$ à droite et $-1$ à gauche. En contraposée, la propriété sert souvent : une fonction discontinue en $a$ n'est pas dérivable en $a$.
Dérivées à gauche et à droite
$f$ est dérivable à droite en $a$ si $\tau_a$ admet une limite finie en $a^+$, notée $f'_d(a)$ ; dérivable à gauche si $\tau_a$ admet une limite finie en $a^-$, notée $f'_g(a)$.
Si $a$ est intérieur à $I$, $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $f$ est dérivable à gauche et à droite en $a$ avec $f'_g(a)=f'_d(a)$. En une borne de $I$, la dérivabilité se réduit à la dérivabilité d'un seul côté.
Tangente
Pour $f$ réelle dérivable en $a$, la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $a$ est la droite d'équation $$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$ Si $f$ est continue en $a$ et si $\tau_a(x) \to \pm\infty$ quand $x \to a$, $f$ n'est pas dérivable en $a$ mais le graphe admet une tangente verticale d'équation $x=a$.
Trois cas en $0$
- $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[0,+\infty[$ : $\tau_0(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$. Pas dérivable en $0$, tangente verticale.
- $f(x)=|x|$ : $f'_d(0)=1$, $f'_g(0)=-1$. Pas dérivable en $0$ ; le graphe présente un point anguleux avec deux demi-tangentes.
- $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$ pour $x \neq 0$, $f(0)=0$. On a $|f(x)| \le |x|$ donc $f$ est continue en $0$. Mais $\tau_0(x)=\sin\frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$ (prendre $x_n=\frac{1}{2n\pi}$ et $y_n=\frac{1}{\pi/2+2n\pi}$ : $\tau_0(x_n)=0$ et $\tau_0(y_n)=1$). Pas dérivable en $0$, même d'un seul côté.
Fonction dérivée
$f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$. La fonction $f' : x \mapsto f'(x)$ est alors la fonction dérivée de $f$, aussi notée $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$. L'ensemble des fonctions dérivables sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ est noté $\mathcal{D}(I,\mathbb{K})$.
Fonctions à valeurs complexes
Pour $f : I \to \mathbb{C}$, le taux d'accroissement de $f$ a pour parties réelle et imaginaire ceux de $\mathrm{Re}\,f$ et $\mathrm{Im}\,f$. Donc $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $\mathrm{Re}\,f$ et $\mathrm{Im}\,f$ le sont, et $$f'(a)=(\mathrm{Re}\,f)'(a)+i\,(\mathrm{Im}\,f)'(a).$$ Exemple utile : si $\varphi : I \to \mathbb{C}$ est dérivable, $e^{\varphi}$ est dérivable et $(e^{\varphi})'=\varphi'\,e^{\varphi}$. En particulier $(e^{i\omega t})'=i\omega\,e^{i\omega t}$.
Étudier la dérivabilité en un point délicat
Pour étudier la dérivabilité de $f$ en un point $a$ où les théorèmes d'opérations ne s'appliquent pas (recollement, valeur absolue, racine, prolongement) :
- Vérifier que $f$ est continue en $a$. Si elle ne l'est pas, elle n'est pas dérivable en $a$.
- Former $\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$, en séparant $x>a$ et $x<a$ si la formule de $f$ change.
- Chercher la limite (équivalents, développements limités, encadrement).
- Si la limite directe est pénible et que $f'$ se calcule facilement autour de $a$, utiliser le théorème de la limite de la dérivée (section 4).
2.Opérations sur les fonctions dérivables, dérivée d'une réciproque
Combinaison linéaire, produit, quotient
Soient $f, g : I \to \mathbb{K}$ dérivables en $a$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$.
- $\lambda f+\mu g$ est dérivable en $a$ et $(\lambda f+\mu g)'(a)=\lambda f'(a)+\mu g'(a)$.
- $fg$ est dérivable en $a$ et $(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$.
- Si $g(a) \neq 0$, $\frac{f}{g}$ est dérivable en $a$ et $\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}$.
Preuve pour le produit et l'inverse
Produit. Pour $x \neq a$ : $$\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}=f(x)\,\frac{g(x)-g(a)}{x-a}+g(a)\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ $f$ est dérivable donc continue en $a$ : $f(x) \to f(a)$. Le membre de droite tend vers $f(a)g'(a)+g(a)f'(a)$.
Inverse. $g$ est continue en $a$ et $g(a) \neq 0$, donc $g$ ne s'annule pas sur un voisinage de $a$ dans $I$. Pour $x \neq a$ dans ce voisinage : $$\frac{1}{x-a}\left(\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(a)}\right)=-\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\cdot\frac{1}{g(x)g(a)} \xrightarrow[x \to a]{} -\frac{g'(a)}{g(a)^2}.$$ Le quotient s'obtient en écrivant $\frac{f}{g}=f \times \frac{1}{g}$ et en appliquant la règle du produit.
Dérivée d'une composée
Soient $f : I \to \mathbb{R}$ et $g : J \to \mathbb{K}$ avec $f(I) \subset J$. Si $f$ est dérivable en $a$ et $g$ dérivable en $b=f(a)$, alors $g \circ f$ est dérivable en $a$ et $$(g \circ f)'(a)=f'(a)\,g'(f(a)).$$
Preuve
On ne peut pas écrire directement $\frac{g(f(x))-g(f(a))}{f(x)-f(a)}$ car $f(x)-f(a)$ peut s'annuler pour $x \neq a$. On contourne la difficulté.
Pour $k$ tel que $b+k \in J$, on pose $\varepsilon(k)=\frac{g(b+k)-g(b)}{k}-g'(b)$ si $k \neq 0$ et $\varepsilon(0)=0$. Comme $g$ est dérivable en $b$, $\varepsilon(k) \to 0=\varepsilon(0)$ : $\varepsilon$ est continue en $0$. Pour tout $k$ (y compris $k=0$) : $$g(b+k)-g(b)=k\,\big(g'(b)+\varepsilon(k)\big).$$ Pour $h \neq 0$ avec $a+h \in I$, on applique cela à $k(h)=f(a+h)-f(a)$, de sorte que $b+k(h)=f(a+h)$ : $$\frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{h}=\frac{k(h)}{h}\,\big(g'(b)+\varepsilon(k(h))\big).$$ Quand $h \to 0$ : $\frac{k(h)}{h} \to f'(a)$ ; $k(h) \to 0$ car $f$ est continue en $a$, donc $\varepsilon(k(h)) \to 0$ par continuité de $\varepsilon$ en $0$. La limite vaut $f'(a)\,g'(b)$.
Dérivée d'une réciproque
Soit $f : I \to \mathbb{R}$ continue et strictement monotone, $J=f(I)$ et $f^{-1} : J \to I$ sa réciproque. Soit $a \in I$ et $b=f(a)$. Si $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $b$ et $$(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(a)}=\frac{1}{f'\big(f^{-1}(b)\big)}.$$ Si $f$ est dérivable sur $I$ et $f'$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J$ et $(f^{-1})'=\dfrac{1}{f' \circ f^{-1}}$.
Preuve
Par le théorème de la bijection, $J$ est un intervalle et $f^{-1}$ est continue et strictement monotone sur $J$. Pour $y \in J \setminus \{b\}$, on pose $x=f^{-1}(y)$ ; par injectivité, $x \neq a$ et $f(x)=y \neq b$. Alors $$\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}=\frac{x-a}{f(x)-f(a)}=\frac{1}{\tau_a(x)}.$$ Quand $y \to b$, $x=f^{-1}(y) \to f^{-1}(b)=a$ par continuité de $f^{-1}$, avec $x \neq a$. Donc $\tau_a(x) \to f'(a)$ par composition des limites, et comme $f'(a) \neq 0$, le quotient tend vers $\frac{1}{f'(a)}$.
Cas où $f'(a)=0$
Si $f'(a)=0$, $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $b$. En effet, si elle l'était, la dérivation de $f^{-1} \circ f=\mathrm{id}_I$ en $a$ donnerait $f'(a)\,(f^{-1})'(b)=1$, ce qui est impossible. Pour $f$ strictement croissante, $\frac{1}{\tau_a(x)} \to +\infty$ : le graphe de $f^{-1}$ a une tangente verticale en $b$, symétrique de la tangente horizontale de $f$ en $a$. Exemple : $x \mapsto x^3$ et $y \mapsto \sqrt[3]{y}$ en $0$.
Dérivée d'arcsin
$\sin$ est continue et strictement croissante de $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ sur $[-1,1]$, de réciproque $\arcsin$. Sa dérivée $\cos$ ne s'annule pas sur $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$. Donc $\arcsin$ est dérivable sur $]-1,1[$ et, pour $y \in\, ]-1,1[$ : $$\arcsin'(y)=\frac{1}{\cos(\arcsin y)}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}},$$ car $\cos(\arcsin y) \ge 0$ (l'angle est dans $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$) et $\cos^2(\arcsin y)=1-y^2$. En $\pm 1$, $\cos(\pm\frac{\pi}{2})=0$ : $\arcsin$ n'est pas dérivable et son graphe a des tangentes verticales.
Réciproque sans expression explicite
$f(x)=x^5+x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x)=5x^4+1>0$ : $f$ est strictement croissante et continue, ses limites en $\pm\infty$ sont $\pm\infty$, donc $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. On ne connaît pas $f^{-1}$, mais $f(1)=2$ donc $f^{-1}(2)=1$ et $$(f^{-1})'(2)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{6}.$$
Dériver une réciproque
- Justifier que $f$ est continue et strictement monotone sur l'intervalle $I$ (souvent par le signe de $f'$).
- Repérer les points où $f'$ s'annule : leurs images sont les points où $f^{-1}$ n'est pas dérivable.
- Écrire $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ et simplifier l'expression $f'(f^{-1}(y))$ à l'aide d'une relation vérifiée par $f'$ (par exemple $\cos^2+\sin^2=1$, $1+\tan^2$, $\mathrm{ch}^2-\mathrm{sh}^2=1$), en contrôlant les signes.
3.Extremum local, théorème de Rolle, accroissements finis
Extremum local
Soit $f : I \to \mathbb{R}$ et $a \in I$. On dit que $f$ admet un maximum local en $a$ s'il existe $\eta>0$ tel que $f(x) \le f(a)$ pour tout $x \in I \cap [a-\eta,a+\eta]$. Minimum local : inégalité inverse. Extremum local : maximum ou minimum local. Un extremum global est en particulier local.
Condition nécessaire d'extremum local
Si $f : I \to \mathbb{R}$ admet un extremum local en un point $a$ intérieur à $I$ et si $f$ est dérivable en $a$, alors $f'(a)=0$. On dit que $a$ est un point critique de $f$.
Preuve
Supposons que $f$ admet un maximum local en $a$ (pour un minimum, on applique le résultat à $-f$). Comme $a$ est intérieur à $I$, il existe $\eta>0$ tel que $[a-\eta,a+\eta] \subset I$ et $f(x) \le f(a)$ sur cet intervalle.
- Pour $x \in\, ]a,a+\eta]$ : $\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \le 0$. Par passage à la limite en $a^+$, $f'(a) \le 0$.
- Pour $x \in [a-\eta,a[$ : $\tau_a(x) \ge 0$ (numérateur et dénominateur négatifs). Par passage à la limite en $a^-$, $f'(a) \ge 0$.
Donc $f'(a)=0$.
Deux limites de ce théorème
- La réciproque est fausse : $f(x)=x^3$ vérifie $f'(0)=0$ mais $f$ est strictement croissante, sans extremum en $0$.
- L'hypothèse « intérieur » est indispensable : $f(x)=x$ sur $[0,1]$ admet un minimum en $0$ et un maximum en $1$, alors que $f'=1$. Aux bornes de l'intervalle, on étudie les extremums à part.
Théorème de Rolle
Soient $a<b$ et $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, avec $f(a)=f(b)$. Alors il existe $c \in\, ]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
Preuve
$f$ est continue sur le segment $[a,b]$ : elle est bornée et atteint ses bornes $m=\min f$ et $M=\max f$.
- Si $m$ et $M$ sont tous deux atteints aux extrémités, alors, comme $f(a)=f(b)$, on a $m=M$ : $f$ est constante, et tout $c \in\, ]a,b[$ convient.
- Sinon, l'un des deux est atteint en un point $c \in\, ]a,b[$. Ce point est intérieur à $[a,b]$, $f$ y admet un extremum (global donc local) et $f$ est dérivable en $c$. Par la condition nécessaire, $f'(c)=0$.
Interprétation et échec pour les fonctions complexes
Géométriquement : entre deux points de même hauteur, le graphe admet au moins une tangente horizontale.
Le théorème est faux pour les fonctions à valeurs complexes : $f(t)=e^{it}$ sur $[0,2\pi]$ vérifie $f(0)=f(2\pi)=1$, mais $f'(t)=ie^{it}$ ne s'annule jamais ($|f'(t)|=1$). La preuve utilise l'ordre de $\mathbb{R}$ (maximum, minimum).
Rolle itéré
Si $f : I \to \mathbb{R}$ est $n$ fois dérivable sur $I$ et s'annule en $n+1$ points distincts de $I$, alors $f^{(n)}$ s'annule au moins une fois sur $I$ (en un point strictement compris entre le plus petit et le plus grand zéro).
Preuve
Notons $x_0<x_1<\dots<x_n$ les zéros. Pour chaque $i \in \{0,\dots,n-1\}$, Rolle sur $[x_i,x_{i+1}]$ fournit $y_i \in\, ]x_i,x_{i+1}[$ avec $f'(y_i)=0$. Les intervalles ouverts sont disjoints, donc $y_0<y_1<\dots<y_{n-1}$ : $f'$ a au moins $n$ zéros distincts dans $]x_0,x_n[$. En répétant l'argument (récurrence sur $n$), $f^{(k)}$ a au moins $n+1-k$ zéros distincts dans $]x_0,x_n[$ ; pour $k=n$, on obtient un zéro de $f^{(n)}$.
Égalité des accroissements finis
Soient $a<b$ et $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. Il existe $c \in\, ]a,b[$ tel que $$f(b)-f(a)=f'(c)\,(b-a).$$ Géométriquement : il existe une tangente parallèle à la corde joignant $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$.
Preuve
On pose $p=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ et $g(x)=f(x)-p\,(x-a)$ pour $x \in [a,b]$. La fonction $g$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ avec $g'(x)=f'(x)-p$. De plus $g(a)=f(a)$ et $g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)$. Le théorème de Rolle donne $c \in\, ]a,b[$ tel que $g'(c)=0$, soit $f'(c)=p$, ce qui est l'égalité annoncée.
Inégalité des accroissements finis
Soit $f : I \to \mathbb{R}$ continue sur $I$ et dérivable sur l'intérieur de $I$.
- Si $m \le f' \le M$ sur l'intérieur de $I$, alors pour tous $x \le y$ dans $I$ : $$m\,(y-x) \le f(y)-f(x) \le M\,(y-x).$$
- Si $|f'| \le k$ sur l'intérieur de $I$, alors pour tous $x,y \in I$ : $|f(y)-f(x)| \le k\,|y-x|$. Autrement dit $f$ est $k$-lipschitzienne sur $I$.
Preuve
Pour $x=y$ il n'y a rien à montrer. Pour $x<y$ dans $I$, $f$ est continue sur $[x,y]$ et dérivable sur $]x,y[$, inclus dans l'intérieur de $I$. L'égalité des accroissements finis donne $c \in\, ]x,y[$ avec $f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)$. Comme $m \le f'(c) \le M$ et $y-x>0$, on obtient l'encadrement. Pour le second point, $|f(y)-f(x)|=|f'(c)|\,|y-x| \le k\,|y-x|$, et le cas $x>y$ s'en déduit par symétrie.
Le cas complexe
L'égalité des accroissements finis est fausse pour les fonctions complexes (même contre-exemple $e^{it}$). En revanche l'inégalité reste vraie pour $f : I \to \mathbb{C}$ de classe $\mathcal{C}^1$ : si $|f'| \le k$ sur $I$, $f$ est $k$-lipschitzienne. La preuve passe par l'écriture $f(y)-f(x)=\int_x^y f'(t)\,\mathrm{d}t$ et sera donnée dans le chapitre d'intégration.
Deux inégalités classiques
Encadrement du logarithme. Soient $0<x<y$. $\ln$ est continue sur $[x,y]$, dérivable sur $]x,y[$ : il existe $c \in\, ]x,y[$ avec $\ln y-\ln x=\frac{y-x}{c}$. Comme $x<c<y$, $\frac{1}{y}<\frac{1}{c}<\frac{1}{x}$, d'où $$\frac{y-x}{y}<\ln y-\ln x<\frac{y-x}{x}.$$ Sinus lipschitzien. $|\sin'|=|\cos| \le 1$ sur $\mathbb{R}$, donc pour tous réels $x,y$ : $|\sin x-\sin y| \le |x-y|$. Avec $y=0$ : $|\sin x| \le |x|$.
Obtenir une inégalité par les accroissements finis
Pour établir une inégalité portant sur une différence $f(y)-f(x)$ :
- Identifier la fonction $f$ et l'intervalle $[x,y]$ ; vérifier continuité sur le segment et dérivabilité à l'intérieur.
- Écrire l'égalité des accroissements finis avec un $c$ inconnu dans $]x,y[$.
- Encadrer $f'(c)$ en utilisant seulement $x<c<y$ et la monotonie de $f'$ (ou une majoration de $|f'|$).
- Multiplier par $y-x>0$ et conclure. Les inégalités sont strictes si l'encadrement de $f'(c)$ l'est.
4.Applications : monotonie, limite de la dérivée, suites récurrentes
Dérivée et monotonie
Soit $f : I \to \mathbb{R}$ continue sur $I$ et dérivable sur l'intérieur $\mathring{I}$.
- $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f' \ge 0$ sur $\mathring{I}$.
- $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f' \le 0$ sur $\mathring{I}$.
- $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'=0$ sur $\mathring{I}$.
- Si $f'>0$ sur $\mathring{I}$, $f$ est strictement croissante sur $I$.
Preuve
Sens direct. Si $f$ est croissante et $x \in \mathring{I}$, pour tout $y \in I \setminus\{x\}$, $f(y)-f(x)$ et $y-x$ ont le même signe (au sens large), donc $\tau_x(y) \ge 0$. Par passage à la limite, $f'(x) \ge 0$.
Réciproque. Soient $x<y$ dans $I$. L'égalité des accroissements finis sur $[x,y]$ donne $c \in\, ]x,y[ \subset \mathring{I}$ tel que $f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)$. Si $f' \ge 0$, ce nombre est $\ge 0$ : $f$ est croissante. Si $f'>0$, il est $>0$ : $f$ est strictement croissante. Le cas décroissant s'obtient avec $-f$, le cas constant en combinant les deux.
L'intervalle est essentiel
Sur une réunion d'intervalles disjoints, $f'=0$ n'implique pas $f$ constante : $f(x)=\frac{x}{|x|}$ sur $\mathbb{R}^*$ a une dérivée nulle mais vaut $-1$ sur $]-\infty,0[$ et $1$ sur $]0,+\infty[$. De même $x \mapsto -\frac{1}{x}$ a une dérivée strictement positive sur $\mathbb{R}^*$ mais n'est pas croissante sur $\mathbb{R}^*$.
Stricte monotonie avec des annulations isolées
Si $f$ est continue sur $I$, dérivable sur $\mathring{I}$, avec $f' \ge 0$ sur $\mathring{I}$ et $f'$ ne s'annulant qu'en un nombre fini de points, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Preuve. $f$ est croissante. Si $f(x)=f(y)$ avec $x<y$, la croissance force $f$ constante sur $[x,y]$, donc $f'=0$ sur $]x,y[$, qui contient une infinité de points : contradiction.
Une fonction strictement croissante dont la dérivée s'annule
$f(x)=x-\sin x$ a pour dérivée $f'(x)=1-\cos x \ge 0$, nulle exactement aux points $2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Sur tout segment $[-A,A]$, $f'$ ne s'annule qu'un nombre fini de fois : $f$ y est strictement croissante. Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. On en déduit : $\sin x<x$ pour $x>0$, car $f(x)>f(0)=0$.
Théorème de la limite de la dérivée
Soit $f : I \to \mathbb{R}$, $a \in I$. On suppose $f$ continue sur $I$, dérivable sur $I \setminus \{a\}$, et $f'(x) \xrightarrow[x \to a,\ x \neq a]{} \ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Alors $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \xrightarrow[x \to a]{} \ell.$$
- Si $\ell \in \mathbb{R}$ : $f$ est dérivable en $a$, $f'(a)=\ell$, et $f'$ est continue en $a$.
- Si $\ell=\pm\infty$ : $f$ n'est pas dérivable en $a$ et son graphe a une tangente verticale en $a$.
Preuve
Soit $x \in I$, $x \neq a$. $f$ est continue sur le segment d'extrémités $a$ et $x$ et dérivable à l'intérieur (qui ne contient pas $a$). L'égalité des accroissements finis fournit $c_x$ strictement compris entre $a$ et $x$ tel que $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c_x).$$ On a $0<|c_x-a|<|x-a|$, donc $c_x \to a$ quand $x \to a$, avec $c_x \neq a$. Par composition des limites, $f'(c_x) \to \ell$. D'où le résultat. Si $\ell$ est fini, cela signifie $f'(a)=\ell=\lim_{x \to a} f'(x)$, c'est-à-dire la continuité de $f'$ en $a$.
Prolongement $\mathcal{C}^1$
Si $f$ est continue sur $I$, de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I \setminus \{a\}$ et si $f'$ admet une limite finie $\ell$ en $a$, alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et $f'(a)=\ell$. C'est une reformulation directe du théorème précédent. Il s'étend aux fonctions à valeurs complexes en l'appliquant à la partie réelle et à la partie imaginaire.
Hypothèses du théorème
- La continuité en $a$ est indispensable. $f(x)=1$ pour $x>0$, $f(0)=0$ sur $[0,+\infty[$ : $f'(x)=0 \to 0$ mais $f$ n'est pas continue en $0$, donc pas dérivable en $0$.
- La réciproque est fausse : $f$ peut être dérivable en $a$ sans que $f'$ ait une limite. Avec $f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$, $f(0)=0$ : $\tau_0(x)=x\sin\frac{1}{x} \to 0$ donc $f'(0)=0$, alors que pour $x \neq 0$, $f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$. Si $f'$ n'a pas de limite, on ne peut rien conclure : il faut revenir au taux d'accroissement.
Un raccord très plat
Soit $f(x)=e^{-1/x}$ pour $x>0$ et $f(x)=0$ pour $x \le 0$. Quand $x \to 0^+$, $-\frac{1}{x} \to -\infty$ donc $f(x) \to 0=f(0)$ : $f$ est continue en $0$, et continue ailleurs par opérations. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ avec $f'(x)=0$ pour $x<0$ et $f'(x)=\frac{1}{x^2}e^{-1/x}$ pour $x>0$. En posant $u=\frac{1}{x} \to +\infty$ : $f'(x)=u^2e^{-u} \to 0$ par croissances comparées. Donc $f'(x) \to 0$ des deux côtés, et le théorème donne : $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec $f'(0)=0$.
Suite récurrente et fonction contractante
Pour étudier $u_{n+1}=f(u_n)$ lorsque $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ :
- Trouver un intervalle $I$ stable ($f(I) \subset I$) contenant $u_0$ : tous les $u_n$ sont dans $I$.
- Montrer l'existence d'un point fixe $\ell \in I$ (souvent par le TVI appliqué à $f(x)-x$).
- Majorer $|f'| \le k$ sur $I$ avec $0 \le k<1$.
- Par l'inégalité des accroissements finis : $|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)| \le k\,|u_n-\ell|$, puis par récurrence $|u_n-\ell| \le k^n|u_0-\ell| \to 0$.
On obtient la convergence et une vitesse géométrique, utile pour une approximation numérique.
La suite $u_{n+1}=\cos u_n$
Prenons $u_0 \in [0,1]$. Sur $[0,1]$, $\cos$ décroît de $1$ à $\cos 1 \approx 0{,}54$ : $\cos([0,1])=[\cos 1,1] \subset [0,1]$, intervalle stable. La fonction $g(x)=\cos x-x$ est continue, $g(0)=1>0$ et $g(1)=\cos 1-1<0$ : par le TVI, il existe $\ell \in\, ]0,1[$ avec $\cos\ell=\ell$. Sur $[0,1]$, $|\cos'(x)|=\sin x \le \sin 1<1$. Donc $|u_n-\ell| \le (\sin 1)^n\,|u_0-\ell| \le (\sin 1)^n$ et $(u_n)$ converge vers $\ell$ (avec $\sin 1 \approx 0{,}84$).
5.Fonctions de classe $\mathcal{C}^n$, formule de Leibniz
Dérivées successives, classes $\mathcal{D}^n$ et $\mathcal{C}^n$
On définit par récurrence $f^{(0)}=f$ et, si $f^{(n)}$ existe et est dérivable sur $I$, $f^{(n+1)}=\big(f^{(n)}\big)'$.
- $f$ est $n$ fois dérivable sur $I$ si $f^{(n)}$ existe sur $I$ ; ensemble $\mathcal{D}^n(I,\mathbb{K})$.
- $f$ est de classe $\mathcal{C}^n$ sur $I$ si $f$ est $n$ fois dérivable et $f^{(n)}$ est continue sur $I$ ; ensemble $\mathcal{C}^n(I,\mathbb{K})$. $\mathcal{C}^0$ est l'ensemble des fonctions continues.
- $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ si elle est de classe $\mathcal{C}^n$ pour tout $n$, c'est-à-dire indéfiniment dérivable.
Inclusions strictes
On a $\mathcal{C}^{n+1} \subset \mathcal{D}^{n+1} \subset \mathcal{C}^n \subset \mathcal{D}^n$, et ces inclusions sont strictes.
- $x \mapsto x^2\sin\frac{1}{x}$ (prolongée par $0$) est dérivable sur $\mathbb{R}$ mais pas $\mathcal{C}^1$ : elle est dans $\mathcal{D}^1 \setminus \mathcal{C}^1$.
- $f(x)=x|x|$ est $\mathcal{C}^1$ avec $f'(x)=2|x|$ (vérifier en $0$ : $\tau_0(x)=|x| \to 0$), mais $f'$ n'est pas dérivable en $0$ : $f \in \mathcal{C}^1 \setminus \mathcal{D}^2$.
Dérivées $n$-ièmes usuelles
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
- $\exp^{(n)}=\exp$ ; plus généralement $(e^{\lambda x})^{(n)}=\lambda^n e^{\lambda x}$ pour $\lambda \in \mathbb{C}$.
- $\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\frac{\pi}{2}\right)$ et $\cos^{(n)}(x)=\cos\left(x+n\frac{\pi}{2}\right)$ (récurrence avec $\sin'(x)=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$).
- Pour $p \in \mathbb{N}$ : $(x^p)^{(k)}=\frac{p!}{(p-k)!}x^{p-k}$ si $k \le p$, et $0$ si $k>p$.
- Pour $a \in \mathbb{R}$, sur $\mathbb{R}\setminus\{a\}$ : $\left(\frac{1}{x-a}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n\,n!}{(x-a)^{n+1}}$.
Formule de Leibniz
Si $f,g : I \to \mathbb{K}$ sont $n$ fois dérivables sur $I$, alors $fg$ est $n$ fois dérivable et $$(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}\,g^{(n-k)}.$$ Si $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^n$, $fg$ l'est aussi.
Preuve par récurrence
Pour $n=0$, la formule s'écrit $fg=fg$. Supposons-la vraie au rang $n$ pour tout couple de fonctions $n$ fois dérivables, et soient $f,g$ $(n+1)$ fois dérivables. Par hypothèse, $(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$. Chaque terme est dérivable car $k+1 \le n+1$ et $n-k+1 \le n+1$. En dérivant : $$(fg)^{(n+1)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k+1)}g^{(n-k)}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n+1-k)}.$$ Dans la première somme on pose $j=k+1$ : elle vaut $\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}f^{(j)}g^{(n+1-j)}$. En isolant $j=n+1$ dans la première et $j=0$ dans la seconde : $$(fg)^{(n+1)}=f^{(n+1)}g+\sum_{j=1}^{n}\left[\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}\right]f^{(j)}g^{(n+1-j)}+fg^{(n+1)}.$$ La formule de Pascal $\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}=\binom{n+1}{j}$ et $\binom{n+1}{0}=\binom{n+1}{n+1}=1$ donnent la formule au rang $n+1$. Pour la classe $\mathcal{C}^n$ : chaque terme $f^{(k)}g^{(n-k)}$ est continu.
Dérivée $n$-ième de $x^2e^x$
On applique Leibniz avec $f(x)=x^2$ et $g=\exp$ : $f'(x)=2x$, $f''=2$ et $f^{(k)}=0$ pour $k \ge 3$. Seuls les termes $k=0,1,2$ subsistent : $$(x^2e^x)^{(n)}=x^2e^x+\binom{n}{1}2x\,e^x+\binom{n}{2}2\,e^x=e^x\big(x^2+2nx+n(n-1)\big).$$ Vérification pour $n=1$ : $(x^2e^x)'=e^x(x^2+2x)$, correct. La formule reste valable pour $n=0$ et $n=1$ (le coefficient $n(n-1)$ est alors nul).
Opérations sur les fonctions de classe $\mathcal{C}^n$
Soit $n \in \mathbb{N}\cup\{\infty\}$.
- Une combinaison linéaire et un produit de fonctions $\mathcal{C}^n$ sont $\mathcal{C}^n$.
- Si $f,g$ sont $\mathcal{C}^n$ et $g$ ne s'annule pas, $\frac{f}{g}$ est $\mathcal{C}^n$.
- Si $f : I \to \mathbb{R}$ et $g : J \to \mathbb{K}$ sont $\mathcal{C}^n$ avec $f(I) \subset J$, alors $g \circ f$ est $\mathcal{C}^n$.
- Si $f : I \to \mathbb{R}$ est $\mathcal{C}^n$ ($n \ge 1$), bijective de $I$ sur $J$, et si $f'$ ne s'annule pas, alors $f^{-1}$ est $\mathcal{C}^n$ sur $J$.
En particulier les fonctions usuelles (polynômes, fractions rationnelles, exp, ln, puissances, fonctions trigonométriques et hyperboliques, arctan) sont $\mathcal{C}^\infty$ sur leur domaine de dérivabilité.
Preuve pour la composée
On montre par récurrence sur $n \ge 1$ la propriété : « pour toutes $f,g$ de classe $\mathcal{C}^n$ composables, $g \circ f$ est $\mathcal{C}^n$ ». Pour $n=1$ : $(g \circ f)'=f' \times (g' \circ f)$ est un produit de fonctions continues. Supposons la propriété vraie au rang $n$ et soient $f,g$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$. Alors $f$ et $g'$ sont $\mathcal{C}^n$, donc $g' \circ f$ est $\mathcal{C}^n$ par hypothèse de récurrence ; $f'$ est $\mathcal{C}^n$ ; leur produit $(g \circ f)'$ est $\mathcal{C}^n$ par Leibniz. Donc $g \circ f$ est $\mathcal{C}^{n+1}$. Pour la réciproque, on raisonne de même sur $(f^{-1})'=\frac{1}{f' \circ f^{-1}}$.
Calculer une dérivée $n$-ième
- Décomposer la fonction en termes dont on connaît les dérivées successives : fraction rationnelle en éléments simples, produit de fonctions trigonométriques linéarisé, écriture $\cos(\omega x)=\mathrm{Re}(e^{i\omega x})$.
- Si la fonction est un produit dont un facteur est un polynôme de degré $p$, appliquer Leibniz : il reste au plus $p+1$ termes.
- Calculer les premières dérivées, conjecturer, puis démontrer par récurrence si aucune des deux méthodes ne s'applique.
- Vérifier le résultat pour $n=0$ et $n=1$.
Dérivée $n$-ième d'une fraction rationnelle
Sur $\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ : $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x^2-1}$, donc $\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$. Par linéarité et la formule usuelle : $$\left(\frac{1}{x^2-1}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n\,n!}{2}\left(\frac{1}{(x-1)^{n+1}}-\frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right).$$ Pour $n=0$ on retrouve bien la fonction de départ.
6.Fonctions convexes
Fonction convexe, fonction concave
$f : I \to \mathbb{R}$ est convexe sur $I$ si pour tous $x,y \in I$ et tout $t \in [0,1]$ : $$f\big((1-t)x+ty\big) \le (1-t)f(x)+tf(y).$$ $f$ est concave si $-f$ est convexe, c'est-à-dire si l'inégalité est renversée.
Interprétation géométrique : quand $t$ décrit $[0,1]$, le point $\big((1-t)x+ty,\ (1-t)f(x)+tf(y)\big)$ décrit la corde joignant $(x,f(x))$ et $(y,f(y))$. $f$ est convexe si et seulement si le graphe est situé sous chacune de ses cordes entre les deux points.
Inégalité de Jensen
Soit $f$ convexe sur $I$, $n \ge 1$, $x_1,\dots,x_n \in I$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_n \ge 0$ avec $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$. Alors $\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i \in I$ et $$f\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^{n}\lambda_i f(x_i).$$
Preuve par récurrence sur $n$
D'abord, $\sum\lambda_ix_i$ est compris entre $\min x_i$ et $\max x_i$, qui sont dans l'intervalle $I$, donc il appartient à $I$.
Pour $n=1$, $\lambda_1=1$ et l'inégalité est une égalité. Supposons le résultat vrai au rang $n$ et prenons $n+1$ points et poids. Si $\lambda_{n+1}=1$, les autres poids sont nuls et l'inégalité est une égalité. Sinon, $s=1-\lambda_{n+1}=\sum_{i=1}^n\lambda_i>0$ et on pose $y=\sum_{i=1}^{n}\frac{\lambda_i}{s}x_i$. Les poids $\frac{\lambda_i}{s}$ sont positifs de somme $1$, donc $y \in I$ et, par hypothèse de récurrence, $f(y) \le \sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i}{s}f(x_i)$. Comme $\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_ix_i=s\,y+\lambda_{n+1}x_{n+1}$ avec $s+\lambda_{n+1}=1$, la définition de la convexité donne $$f\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right) \le s\,f(y)+\lambda_{n+1}f(x_{n+1}) \le \sum_{i=1}^{n}\lambda_if(x_i)+\lambda_{n+1}f(x_{n+1}).$$
Inégalité des pentes
Notons $p(u,v)=\frac{f(v)-f(u)}{v-u}$ la pente de la corde entre les abscisses $u \neq v$. $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si pour tous $a<b<c$ dans $I$ : $$p(a,b) \le p(a,c) \le p(b,c).$$ De façon équivalente : pour tout $a \in I$, le taux d'accroissement $\tau_a : x \mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est croissant sur $I\setminus\{a\}$.
Preuve du sens direct
Soient $a<b<c$ dans $I$. On écrit $b=(1-t)a+tc$ avec $t=\frac{b-a}{c-a} \in\, ]0,1[$ ; on a $1-t=\frac{c-b}{c-a}$. La convexité donne $f(b) \le (1-t)f(a)+tf(c)$.
- En retranchant $f(a)$ : $f(b)-f(a) \le t\,(f(c)-f(a))$. On divise par $b-a=t(c-a)>0$ : $p(a,b) \le p(a,c)$.
- En retranchant $f(c)$ : $f(b)-f(c) \le (1-t)(f(a)-f(c))$, soit $f(c)-f(b) \ge (1-t)(f(c)-f(a))$. On divise par $c-b=(1-t)(c-a)>0$ : $p(b,c) \ge p(a,c)$.
La réciproque se démontre en refaisant ces calculs dans l'autre sens : l'inégalité $p(a,b) \le p(a,c)$ équivaut à $f(b) \le (1-t)f(a)+tf(c)$.
Caractérisation des fonctions convexes dérivables
Soit $f$ dérivable sur $I$. Alors $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f'$ est croissante sur $I$.
Corollaire. Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$ : $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f'' \ge 0$ sur $I$.
Preuve
Convexe implique $f'$ croissante. Soient $a<b$ dans $I$ et $x \in\, ]a,b[$. L'inégalité des pentes donne $p(a,x) \le p(a,b) \le p(x,b)$. Quand $x \to a^+$, $p(a,x) \to f'(a)$, donc $f'(a) \le p(a,b)$. Quand $x \to b^-$, $p(x,b) \to f'(b)$, donc $p(a,b) \le f'(b)$. Ainsi $f'(a) \le f'(b)$.
$f'$ croissante implique convexe. Soient $x<y$ dans $I$, $t \in\, ]0,1[$ et $z=(1-t)x+ty$, de sorte que $x<z<y$, $z-x=t(y-x)$ et $y-z=(1-t)(y-x)$. Par l'égalité des accroissements finis, il existe $c_1 \in\, ]x,z[$ et $c_2 \in\, ]z,y[$ avec $p(x,z)=f'(c_1)$ et $p(z,y)=f'(c_2)$. Comme $c_1<c_2$ et $f'$ est croissante, $p(x,z) \le p(z,y)$, c'est-à-dire $$\frac{f(z)-f(x)}{t(y-x)} \le \frac{f(y)-f(z)}{(1-t)(y-x)}.$$ En multipliant par $t(1-t)(y-x)>0$ : $(1-t)(f(z)-f(x)) \le t(f(y)-f(z))$, soit $f(z) \le (1-t)f(x)+tf(y)$. Les cas $t=0$ et $t=1$ sont immédiats.
Le corollaire découle du théorème de monotonie appliqué à $f'$.
Position par rapport aux tangentes
Si $f$ est convexe et dérivable sur $I$, son graphe est au-dessus de chacune de ses tangentes : pour tous $a,x \in I$, $$f(x) \ge f(a)+f'(a)(x-a).$$ Pour $f$ concave et dérivable, le graphe est en dessous de ses tangentes.
Preuve
On pose $g(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)$. $g$ est dérivable et $g'(x)=f'(x)-f'(a)$. Comme $f'$ est croissante, $g' \le 0$ sur $I \cap\, ]-\infty,a]$ et $g' \ge 0$ sur $I \cap [a,+\infty[$. Donc $g$ décroît puis croît : elle atteint son minimum en $a$, et $g(a)=0$. Ainsi $g \ge 0$ sur $I$.
Inégalités de convexité classiques
- $\exp$ est convexe ($\exp''=\exp>0$). Tangente en $0$ : $y=1+x$. Donc $e^x \ge 1+x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
- $\ln$ est concave sur $]0,+\infty[$ ($\ln''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$). Tangente en $1$ : $y=x-1$. Donc $\ln x \le x-1$ pour tout $x>0$.
- $\sin$ est concave sur $[0,\pi]$ ($\sin''=-\sin \le 0$). Sur $[0,\frac{\pi}{2}]$, le graphe est au-dessus de la corde joignant $(0,0)$ et $(\frac{\pi}{2},1)$, d'équation $y=\frac{2}{\pi}x$, et sous la tangente en $0$, d'équation $y=x$. D'où : pour $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$, $\frac{2}{\pi}x \le \sin x \le x$.
Inégalité arithmético-géométrique
Soient $x_1,\dots,x_n>0$. $\ln$ est concave, donc l'inégalité de Jensen s'applique en sens inverse avec les poids $\lambda_i=\frac{1}{n}$ : $$\ln\left(\frac{x_1+\dots+x_n}{n}\right) \ge \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln x_i=\ln\left(\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\right).$$ Par croissance de $\exp$ : $$\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n} \le \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}.$$ Pour $n=2$ : $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$, qui équivaut aussi à $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 \ge 0$.
Démontrer une inégalité par convexité
- Repérer la fonction en jeu et prouver sa convexité ou sa concavité, en général par le signe de $f''$.
- Choisir l'outil selon la forme de l'inégalité :
- comparaison entre $f(x)$ et une fonction affine qui touche le graphe : tangente ;
- encadrement sur un segment $[a,b]$ par une fonction affine qui passe par les extrémités : corde ;
- $f$ d'une moyenne comparée à la moyenne des $f(x_i)$ : Jensen, avec des poids bien choisis.
- Écrire l'inégalité obtenue, puis appliquer si besoin une fonction monotone ($\exp$, $\ln$, puissance) en respectant son sens de variation.
Convexité sans dérivabilité
Une fonction convexe n'est pas forcément dérivable : $x \mapsto |x|$ est convexe sur $\mathbb{R}$ mais n'est pas dérivable en $0$. On peut montrer (résultat hors programme) qu'une fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue et admet en tout point une dérivée à gauche et une dérivée à droite. Les caractérisations par $f'$ et $f''$ supposent donc explicitement la dérivabilité.