QCM : Dérivabilité (Prépa, 1re année)
Ce chapitre fournit les outils pour étudier localement une fonction (tangente, extremum), puis pour transformer une information sur la dérivée en information globale sur la fonction : monotonie, inégalités, encadrements. Les théorèmes de Rolle et des accroissements finis, la formule de Leibniz et la convexité servent ensuite dans toute l'analyse : développements limités, intégration, équations différentielles, suites récurrentes.
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x)=x|x|$. Que peut-on dire de $f$ en $0$ ?
Pour $x \neq 0$, le taux d'accroissement vaut $\tau_0(x)=\frac{x|x|}{x}=|x|$, qui tend vers $0$. Donc $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=0$. Le piège consiste à croire qu'un produit contenant un facteur non dérivable n'est jamais dérivable : les théorèmes d'opérations donnent une condition suffisante de dérivabilité, pas une condition nécessaire. En un point délicat, on revient au taux d'accroissement.
Soit $f(x)=x^3+x$, bijection continue strictement croissante de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. Que vaut $(f^{-1})'(2)$ ?
On a $f'(x)=3x^2+1>0$ et $f(1)=2$, donc $f^{-1}(2)=1$. Comme $f'(1)=4 \neq 0$, on obtient $(f^{-1})'(2)=\frac{1}{f'(f^{-1}(2))}=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{4}$. Le choix $\frac{1}{13}$ vient de l'erreur classique $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(y)}$ : la dérivée de $f$ doit être prise en l'antécédent $1$, pas en $2$. Le choix $4$ oublie d'inverser, et $\frac{1}{2}$ confond $f^{-1}(2)$ avec $\frac{1}{2}$.
Laquelle des fonctions suivantes vérifie toutes les hypothèses du théorème de Rolle sur $[-1,1]$ ?
$x \mapsto \sqrt{1-x^2}$ est continue sur $[-1,1]$, dérivable sur $]-1,1[$ et prend la valeur $0$ en $-1$ et en $1$. Elle n'est pas dérivable en $\pm 1$, mais le théorème n'exige la dérivabilité que sur l'intervalle ouvert. Le piège principal est de rejeter cette fonction pour ce motif. $|x|$ et $\sqrt[3]{x^2}$ prennent bien la même valeur aux bornes, mais ne sont pas dérivables en $0$, point intérieur. $x^3$ ne vérifie pas $f(-1)=f(1)$.
Soit $f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0)=0$. Quelle affirmation est exacte ?
Le taux d'accroissement $\tau_0(x)=x\sin\frac{1}{x}$ vérifie $|\tau_0(x)| \le |x|$, donc il tend vers $0$ : $f'(0)=0$. Pour $x \neq 0$, $f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$, donc $f'$ n'est pas continue en $0$. Le piège est d'utiliser le théorème de la limite de la dérivée à l'envers. Ce théorème donne une condition suffisante de dérivabilité : quand $f'$ n'a pas de limite, on ne peut rien conclure et on revient au taux d'accroissement.
Pour $n \ge 2$, que vaut la dérivée $n$-ième de $x \mapsto x\,e^x$ ?
On applique la formule de Leibniz avec $f(x)=x$ et $g=\exp$. Comme $f^{(k)}=0$ pour $k \ge 2$, il reste $\binom{n}{0}x\,e^x+\binom{n}{1}\cdot 1\cdot e^x=(x+n)e^x$. Vérification pour $n=1$ : $(xe^x)'=(x+1)e^x$, ce qui est correct. Le choix $0$ vient de l'erreur $(fg)^{(n)}=f^{(n)}g^{(n)}$. Le choix $(x+1)e^x$ oublie le coefficient binomial $\binom{n}{1}=n$. Le choix $(nx+1)e^x$ place ce coefficient sur le mauvais terme.
Quelle est la plus petite constante $k$ telle que, pour tous $x,y \in [1,+\infty[$, on ait $|\arctan x-\arctan y| \le k\,|x-y|$ ?
Sur $[1,+\infty[$, $\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}$ décroît de $\frac{1}{2}$ vers $0$, donc $|\arctan'| \le \frac{1}{2}$. L'inégalité des accroissements finis donne alors $k=\frac{1}{2}$. Aucune constante plus petite ne convient : le taux $\frac{\arctan x-\arctan 1}{x-1}$ tend vers $\frac{1}{2}$ quand $x \to 1$. Le choix $1$ est la majoration valable sur $\mathbb{R}$ tout entier, non optimale ici. $\frac{\pi}{4}=\arctan 1$ confond la fonction et sa dérivée. $\frac{1}{4}$ vient d'une dérivée mal écrite, $\frac{1}{(1+x)^2}$.
Soit $f(x)=\frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$. On a $f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ pour tout $x \neq 0$. Quelle affirmation est exacte ?
Le lien entre le signe de $f'$ et la monotonie n'est valable que sur un intervalle. Sur chacun des intervalles $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$, on a $f'<0$, donc $f$ y est strictement décroissante. En revanche $f(-1)=-1<1=f(1)$, donc $f$ n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$. Elle n'y est pas non plus croissante, car $f(1)>f(2)$. Le piège principal est d'oublier que $\mathbb{R}^*$ n'est pas un intervalle.
Soit $f(x)=x^4$ sur $\mathbb{R}$. Quelle affirmation est exacte ?
$f$ est deux fois dérivable et $f''(x)=12x^2 \ge 0$ sur l'intervalle $\mathbb{R}$. Par la caractérisation des fonctions convexes, $f$ est donc convexe sur $\mathbb{R}$. L'annulation de $f''$ en un point isolé n'empêche rien, car le critère porte sur $f'' \ge 0$ au sens large. Il n'y a pas de point d'inflexion en $0$ : $f''$ ne change pas de signe. Le piège est de confondre « $f''(a)=0$ » avec « changement de concavité ».
Quel est le maximum de $f(x)=x^3-3x$ sur le segment $[-2,3]$ ?
On a $f'(x)=3(x^2-1)$, qui s'annule en $-1$ et $1$. On compare les valeurs aux points critiques et aux bornes : $f(-2)=-2$, $f(-1)=2$, $f(1)=-2$ et $f(3)=27-9=18$. Le maximum vaut donc $18$ et il est atteint en la borne $3$. Le choix $2$ vient de l'erreur classique qui consiste à chercher les extremums uniquement parmi les zéros de $f'$ : en $-1$, il s'agit seulement d'un maximum local. La condition $f'(a)=0$ ne concerne que les points intérieurs, et les bornes s'examinent à part.
Soit $f(x)=|x|^3$ sur $\mathbb{R}$. Quelle est la classe exacte de $f$ ?
En $0$, le taux d'accroissement de $f$ vaut $\frac{|x|^3}{x}$, de valeur absolue $x^2$, donc il tend vers $0$ : $f'(0)=0$. Sur $\mathbb{R}$, on a $f'(x)=3x|x|$. Le taux de $f'$ en $0$ vaut $3|x| \to 0$, donc $f''(x)=6|x|$ pour tout $x$, et $f''$ est continue : $f$ est $\mathcal{C}^2$. Mais $6|x|$ n'est pas dérivable en $0$, donc $f \notin \mathcal{D}^3$. Le choix « $\mathcal{C}^1$ mais pas $\mathcal{D}^2$ » vient d'une confusion avec $x|x|$. Le choix « $\mathcal{C}^\infty$ » vient de l'idée qu'une puissance est toujours $\mathcal{C}^\infty$ : la valeur absolue empêche ce raisonnement.