Prépa · MPSI / MP2I

Fiche résumé : Dérivabilité (Prépa, 1re année)

Ce chapitre fournit les outils pour étudier localement une fonction (tangente, extremum), puis pour transformer une information sur la dérivée en information globale sur la fonction : monotonie, inégalités, encadrements. Les théorèmes de Rolle et des accroissements finis, la formule de Leibniz et la convexité servent ensuite dans toute l'analyse : développements limités, intégration, équations différentielles, suites récurrentes.

Dérivabilité en $a$ : $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ a une limite finie $f'(a)$ ; équivaut à $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$. Dérivable implique continue, réciproque fausse ($|x|$ en $0$).
En un point intérieur : dérivable si et seulement si $f'_g(a)$ et $f'_d(a)$ existent et sont égales. Tangente : $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.
Opérations : $(fg)'=f'g+fg'$, $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$, $(g \circ f)'=f' \times (g' \circ f)$.
Réciproque : $f$ continue strictement monotone, dérivable en $a$, $f'(a)\neq 0$ : $(f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}$. Si $f'(a)=0$ : tangente verticale pour $f^{-1}$.
Extremum local en un point intérieur où $f$ est dérivable : $f'(a)=0$ (condition nécessaire, non suffisante).
Rolle : $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, $f(a)=f(b)$ : il existe $c \in\, ]a,b[$, $f'(c)=0$. Faux pour les fonctions complexes.
Égalité des accroissements finis : $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ avec $c \in\, ]a,b[$ ($f$ réelle).
Inégalité des accroissements finis : $m \le f' \le M$ donne $m(y-x) \le f(y)-f(x) \le M(y-x)$ ; $|f'| \le k$ donne $f$ $k$-lipschitzienne (vrai aussi pour $f$ complexe de classe $\mathcal{C}^1$).
Monotonie sur un intervalle : $f$ croissante si et seulement si $f' \ge 0$ ; $f'=0$ si et seulement si $f$ constante ; $f'>0$ (sauf en un nombre fini de points) implique $f$ strictement croissante.
Limite de la dérivée : $f$ continue sur $I$, dérivable sur $I\setminus\{a\}$, $f'(x) \to \ell$ : le taux tend vers $\ell$. Si $\ell$ est fini, $f'(a)=\ell$ et $f'$ est continue en $a$ ; si $\ell=\pm\infty$, tangente verticale.
Suite contractante : $I$ stable, $|f'| \le k<1$, $f(\ell)=\ell$ : $|u_n-\ell| \le k^n|u_0-\ell|$.
Classes : $\mathcal{C}^{n+1} \subset \mathcal{D}^{n+1} \subset \mathcal{C}^n$, inclusions strictes. $\mathcal{C}^n$ est stable par combinaison linéaire, produit, quotient, composée, réciproque (si $f'\neq 0$).
Leibniz : $(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$.
Dérivées $n$-ièmes usuelles : $(e^{\lambda x})^{(n)}=\lambda^ne^{\lambda x}$, $\sin^{(n)}(x)=\sin(x+n\frac{\pi}{2})$, $\left(\frac{1}{x-a}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x-a)^{n+1}}$.
Convexité : $f((1-t)x+ty) \le (1-t)f(x)+tf(y)$ ; graphe sous les cordes. Jensen : $f(\sum\lambda_ix_i) \le \sum\lambda_if(x_i)$ pour $\lambda_i \ge 0$, $\sum\lambda_i=1$.
Pentes : $f$ convexe si et seulement si $p(a,b) \le p(a,c) \le p(b,c)$ pour $a<b<c$.
$f$ dérivable : convexe si et seulement si $f'$ croissante ; deux fois dérivable : si et seulement si $f'' \ge 0$. Convexe dérivable : graphe au-dessus des tangentes.
Inégalités à connaître : $e^x \ge 1+x$, $\ln x \le x-1$, $\frac{2}{\pi}x \le \sin x \le x$ sur $[0,\frac{\pi}{2}]$, $\sqrt[n]{x_1\cdots x_n} \le \frac{x_1+\dots+x_n}{n}$.