Erreurs fréquentes : Dimension finie (Prépa, 1re année)
Ce chapitre associe à un espace vectoriel un entier, sa dimension, qui mesure le nombre de paramètres indépendants nécessaires pour décrire ses vecteurs. Il permet de démontrer qu'une famille est une base, qu'une somme est directe ou qu'une application linéaire est bijective par un simple comptage, sans calcul.
Conclure qu'une application linéaire injective est surjective sans vérifier que les espaces de départ et d'arrivée ont la même dimension finie, ou en dimension infinie (par exemple pour la dérivation sur $\mathbb{K}[X]$).
La caractérisation « injective $\iff$ surjective $\iff$ bijective » exige $\dim E = \dim F$ finie. En dimension infinie, $D : P \mapsto P'$ est surjective non injective sur $\mathbb{K}[X]$.
Écrire $\dim F = \dim E$ donc $F = E$ sans avoir établi l'inclusion $F \subset E$.
L'égalité des dimensions ne suffit que si l'un des sous-espaces est inclus dans l'autre. Deux droites distinctes de $\mathbb{R}^2$ ont même dimension.
Affirmer que $F \cap G = \{0\}$ suffit pour que $F$ et $G$ soient supplémentaires dans $E$.
Il faut aussi $\dim F + \dim G = \dim E$ (ou $F + G = E$). Deux droites de $\mathbb{R}^3$ d'intersection nulle ne sont pas supplémentaires : leur somme est un plan.
Déduire du théorème du rang que $E = \operatorname{Ker} u \oplus \operatorname{Im} u$ pour un endomorphisme $u$.
Seule la somme des dimensions vaut $\dim E$. Pour $u(x,y) = (y,0)$ sur $\mathbb{R}^2$, on a $\operatorname{Ker} u = \operatorname{Im} u$. La décomposition n'a lieu que si, en plus, $\operatorname{Ker} u \cap \operatorname{Im} u = \{0\}$.
Utiliser la dimension de l'espace d'arrivée dans la formule du rang : $\dim F = \dim \operatorname{Ker} u + \operatorname{rg} u$.
La formule porte sur l'espace de départ : $\dim E = \dim \operatorname{Ker} u + \operatorname{rg} u$. L'espace d'arrivée n'intervient que via $\operatorname{rg} u \leq \dim F$.
Étendre la formule de Grassmann à trois sous-espaces par analogie avec le cardinal d'une réunion : $\dim(F+G+H) = \sum \dim - \sum \dim(\cdot \cap \cdot) + \dim(F \cap G \cap H)$.
Cette formule est fausse : trois droites distinctes de $\mathbb{R}^2$ donnent $2$ à gauche et $1+1+1-0-0-0+0 = 3$ à droite. Pour plusieurs sous-espaces, seule l'inégalité $\dim(\sum F_i) \leq \sum \dim F_i$ est valable, avec égalité si et seulement si la somme est directe.
Se tromper de dimension pour les espaces de polynômes : prendre $\dim \mathbb{K}_n[X] = n$, et donc conclure à tort qu'une famille libre de $n$ polynômes de degré au plus $n$ est une base.
$\dim \mathbb{K}_n[X] = n+1$, base $(1, X, \dots, X^n)$. Une base de $\mathbb{K}_n[X]$ compte $n+1$ polynômes.
Confondre le rang d'une famille avec son nombre de vecteurs non nuls, ou avec son nombre de vecteurs deux à deux non colinéaires.
Le rang est la dimension de l'espace engendré. Dans $\mathbb{R}^2$, la famille $((1,0),(0,1),(1,1))$ a trois vecteurs deux à deux non colinéaires mais son rang est $2$. On calcule le rang par échelonnement.