QCM : Dimension finie (Prépa, 1re année)
Ce chapitre associe à un espace vectoriel un entier, sa dimension, qui mesure le nombre de paramètres indépendants nécessaires pour décrire ses vecteurs. Il permet de démontrer qu'une famille est une base, qu'une somme est directe ou qu'une application linéaire est bijective par un simple comptage, sans calcul.
Quelle est la dimension du sous-espace $F = \{P \in \mathbb{R}_4[X] : P(1) = 0\}$ ?
L'application $\varphi : P \mapsto P(1)$ est une forme linéaire non nulle sur $\mathbb{R}_4[X]$, car $\varphi(1) = 1$. Son noyau $F$ est donc un hyperplan de $\mathbb{R}_4[X]$, qui est de dimension $5$. On obtient $\dim F = 5 - 1 = 4$. Le piège principal mène à $3$ : on prend à tort $\dim \mathbb{R}_4[X] = 4$ alors que la base $(1, X, X^2, X^3, X^4)$ compte $5$ vecteurs. La réponse $5$ oublie que la condition $P(1)=0$ fait baisser la dimension.
Dans $\mathbb{R}^5$, on considère deux sous-espaces $F$ et $G$ avec $\dim F = 3$ et $\dim G = 4$. Quelle est la plus petite valeur possible de $\dim(F \cap G)$ ?
Par la formule de Grassmann, $\dim(F \cap G) = 3 + 4 - \dim(F+G)$. Comme $F + G \subset \mathbb{R}^5$, on a $\dim(F+G) \leq 5$, donc $\dim(F \cap G) \geq 2$. Cette valeur est atteinte avec $F = \operatorname{Vect}(e_1,e_2,e_3)$ et $G = \operatorname{Vect}(e_1,e_2,e_4,e_5)$, dont l'intersection est $\operatorname{Vect}(e_1,e_2)$. Le piège principal est de répondre $0$ en pensant qu'une somme peut toujours être directe : c'est impossible ici, car $3 + 4 > 5$.
Soit $u : \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^3$ une application linéaire surjective. Quelle est la dimension de $\operatorname{Ker} u$ ?
Comme $u$ est surjective, $\operatorname{rg} u = \dim \mathbb{R}^3 = 3$. Le théorème du rang porte sur l'espace de départ : $\dim \operatorname{Ker} u = 5 - 3 = 2$. La réponse $0$ confond surjectivité et injectivité. La réponse $3$ vient d'une confusion entre noyau et image. La réponse $8$ provient d'une formule du rang mal écrite, où l'on additionne les dimensions.
Dans $\mathbb{R}^3$, on pose $u_1 = (1,1,0)$, $u_2 = (0,1,1)$, $u_3 = (1,0,-1)$ et $u_4 = (1,2,1)$. Quel est le rang de la famille $(u_1, u_2, u_3, u_4)$ ?
On vérifie que $u_3 = u_1 - u_2$ et $u_4 = u_1 + u_2$. On a donc $\operatorname{Vect}(u_1,u_2,u_3,u_4) = \operatorname{Vect}(u_1,u_2)$. Comme $u_1$ et $u_2$ ne sont pas colinéaires, ce sous-espace est de dimension $2$. La réponse $4$ compte simplement les vecteurs, ce qui est impossible puisque le rang est au plus $\dim \mathbb{R}^3 = 3$. La réponse $3$ vient du fait que les vecteurs sont deux à deux non colinéaires, mais cela ne suffit pas à rendre la famille libre.
Dans $\mathbb{R}_3[X]$, quel est le rang de la famille $(1+X,\; X+X^2,\; X^2+X^3,\; X^3+1)$ ?
On a $(1+X) - (X+X^2) + (X^2+X^3) - (X^3+1) = 0$ : la famille est liée, donc son rang est au plus $3$. Les trois premiers polynômes sont non nuls et de degrés $1, 2, 3$ distincts : ils forment une famille libre. Le rang vaut donc exactement $3$. Le piège principal consiste à conclure qu'une famille de $\dim E$ vecteurs est une base sans vérifier sa liberté. L'absence de colinéarité deux à deux ne prouve pas non plus la liberté.
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?
Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie $n$. Si $u$ est injective, le théorème du rang donne $\operatorname{rg} u = n$, donc $\operatorname{Im} u = E$. Sur $\mathbb{K}[X]$, qui est de dimension infinie, l'application « primitive nulle en $0$ » est injective mais pas surjective. Une application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ a un noyau de dimension au moins $3 - 2 = 1$, donc elle n'est pas injective. Une application linéaire de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^3$ a un rang au plus $2$, donc elle n'est pas surjective. Le piège est d'oublier l'hypothèse de dimension finie, ou celle de dimensions égales au départ et à l'arrivée.
Soit $D_1$ et $D_2$ deux droites vectorielles distinctes de $\mathbb{R}^3$. Quelle affirmation est correcte ?
Deux droites distinctes ont une intersection réduite à $\{0\}$ : la somme est directe. Par Grassmann, $\dim(D_1 + D_2) = 1 + 1 - 0 = 2$, donc $D_1 + D_2$ est un plan. Le piège principal est de croire que $D_1 \cap D_2 = \{0\}$ suffit pour que les droites soient supplémentaires. Il faut aussi que $\dim D_1 + \dim D_2 = \dim \mathbb{R}^3$, et ici $1 + 1 \neq 3$.
Soit $u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^4, \mathbb{R}^3)$ de rang $3$ et $v \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^5)$ de rang $2$. Que vaut $\operatorname{rg}(v \circ u)$ ?
Comme $\operatorname{rg} u = 3 = \dim \mathbb{R}^3$, l'application $u$ est surjective. On a alors $\operatorname{Im}(v \circ u) = v(\operatorname{Im} u) = v(\mathbb{R}^3) = \operatorname{Im} v$, d'où $\operatorname{rg}(v \circ u) = \operatorname{rg} v = 2$. L'inégalité $\operatorname{rg}(v \circ u) \leq \min(\operatorname{rg} u, \operatorname{rg} v)$ est vraie, mais elle n'exploite pas la surjectivité de $u$. Répondre $3$ revient à prendre le rang de $u$ au lieu du minimum.
Dans $\mathbb{R}^7$, on considère trois hyperplans $H_1$, $H_2$ et $H_3$. Que peut-on affirmer sur $\dim(H_1 \cap H_2 \cap H_3)$ ?
Grassmann donne $\dim(F \cap H) \geq \dim F - 1$ pour tout hyperplan $H$. En appliquant cette inégalité deux fois à partir de $\dim H_1 = 6$, on obtient $\dim(H_1 \cap H_2 \cap H_3) \geq 7 - 3 = 4$. L'égalité n'est pas garantie : si $H_1 = H_2 = H_3$, l'intersection est de dimension $6$. Le piège principal est de répondre « exactement $4$ », ce qui suppose que les trois équations sont indépendantes.
Soit $u$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^4$ de rang $2$. Quelle affirmation est toujours vraie ?
Le théorème du rang donne $\dim \operatorname{Ker} u = 4 - 2 = 2$. En revanche, le noyau et l'image ne sont pas toujours supplémentaires. Pour $u(x,y,z,t) = (y,0,t,0)$, on a $\operatorname{Ker} u = \operatorname{Im} u = \operatorname{Vect}(e_1,e_3)$, ce qui contredit le premier et le troisième choix. Pour la projection $u(x,y,z,t) = (x,y,0,0)$, le noyau et l'image sont différents, ce qui exclut le dernier choix. Le piège classique est de déduire $E = \operatorname{Ker} u \oplus \operatorname{Im} u$ de la seule égalité des dimensions.