Dimension finie

Soit $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p + \lambda x = 0$. Si $\lambda \neq 0$, alors $x = -\frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i \in \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$, ce qui est exclu. Donc $\lambda = 0$, puis $\sum \lambda_i x_i = 0$ et la liberté de $(x_1, \dots, x_p)$ donne $\lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0$.

Considérons les sous-familles $\mathcal{G}'$ de $\mathcal{G}$ telles que la concaténation $\mathcal{L} \cup \mathcal{G}'$ soit libre. Il en existe (par exemple $\mathcal{G}' = \emptyset$) et il y en a un nombre fini. On en choisit une, notée $\mathcal{G}'$, de cardinal maximal, et on pose $\mathcal{B} = \mathcal{L} \cup \mathcal{G}'$, famille libre.

Soit $j \in \{1, \dots, q\}$. Si $g_j \notin \operatorname{Vect}(\mathcal{B})$, alors $g_j$ n'est pas dans $\mathcal{G}'$ et, d'après la propriété précédente, $\mathcal{B} \cup (g_j)$ est libre : cela contredit la maximalité de $\mathcal{G}'$. Donc tous les $g_j$ sont dans $\operatorname{Vect}(\mathcal{B})$, d'où $E = \operatorname{Vect}(\mathcal{G}) \subset \operatorname{Vect}(\mathcal{B})$. La famille $\mathcal{B}$ est libre et génératrice : c'est une base.

Pour $n \in \mathbb{N}$, notons $\mathcal{H}_n$ : « dans tout espace engendré par $n$ vecteurs, toute famille de $n+1$ vecteurs est liée ».

Initialisation. Un espace engendré par $0$ vecteur est $\{0\}$ ; une famille d'un vecteur de $\{0\}$ est $(0)$, liée.

Hérédité. Soit $n \geq 1$ tel que $\mathcal{H}_{n-1}$ soit vraie. Soit $E = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$, $F = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_{n-1})$ et $x_1, \dots, x_{n+1} \in E$. On écrit $x_j = a_j e_n + y_j$ avec $a_j \in \mathbb{K}$ et $y_j \in F$.

• Si tous les $a_j$ sont nuls, $x_1, \dots, x_n$ sont $n$ vecteurs de $F$, espace engendré par $n-1$ vecteurs : par $\mathcal{H}_{n-1}$, ils forment une famille liée, donc $(x_1, \dots, x_{n+1})$ est liée.
• Sinon, quitte à renuméroter, $a_{n+1} \neq 0$. Pour $j \in \{1, \dots, n\}$, on pose $z_j = x_j - \frac{a_j}{a_{n+1}} x_{n+1} = y_j - \frac{a_j}{a_{n+1}} y_{n+1} \in F$. Par $\mathcal{H}_{n-1}$, la famille $(z_1, \dots, z_n)$ est liée : il existe $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \neq (0, \dots, 0)$ tel que $\sum_{j=1}^n \lambda_j z_j = 0$, c'est-à-dire $$\sum_{j=1}^n \lambda_j x_j - \Big(\sum_{j=1}^n \frac{\lambda_j a_j}{a_{n+1}}\Big) x_{n+1} = 0.$$ Un des $\lambda_j$ est non nul : c'est une relation de liaison non triviale entre $x_1, \dots, x_{n+1}$.

Dans les deux cas, $\mathcal{H}_n$ est vraie.

Soit $\mathcal{B}$ une base finie de $E$ à $n$ vecteurs (il en existe d'après la section précédente). Toute famille libre de $E$ a au plus $n$ vecteurs par le lemme fondamental, donc toute base $\mathcal{B}'$ est finie, de cardinal $p \leq n$. En échangeant les rôles, $\mathcal{B}'$ engendre $E$ et $\mathcal{B}$ est libre, donc $n \leq p$. Ainsi $p = n$.

Une famille libre $\mathcal{L}$ a au plus $n$ vecteurs par le lemme fondamental. Si elle en a $n$, on la complète en une base (théorème de la base incomplète) ; cette base a $n$ vecteurs, donc on n'a rien ajouté : $\mathcal{L}$ est une base.

Si $\mathcal{G}$ est génératrice, on peut supposer $\mathcal{G}$ finie (sinon elle a plus de $n$ vecteurs) ; on en extrait une base, qui a $n$ vecteurs, donc $\mathcal{G}$ a au moins $n$ vecteurs. Si elle en a exactement $n$, la base extraite est $\mathcal{G}$ elle-même.

Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$ et $(f_1, \dots, f_m)$ une base de $F$. Pour $(x, y) \in E \times F$, avec $x = \sum \lambda_i e_i$ et $y = \sum \mu_j f_j$, on a $(x, y) = \sum \lambda_i (e_i, 0) + \sum \mu_j (0, f_j)$, et cette écriture est unique car les coordonnées de $x$ et $y$ le sont. La famille $((e_1,0), \dots, (e_n,0), (0,f_1), \dots, (0,f_m))$ est donc une base de $E \times F$, de cardinal $n + m$. Le cas général s'obtient par récurrence sur $p$.

Posons $n = \dim E$. Une famille libre de $F$ est libre dans $E$, donc a au plus $n$ vecteurs. On peut donc choisir une famille libre $(f_1, \dots, f_p)$ de $F$ de cardinal $p$ maximal, avec $p \leq n$. Pour $x \in F$, la famille $(f_1, \dots, f_p, x)$ est liée par maximalité, donc $x \in \operatorname{Vect}(f_1, \dots, f_p)$ (contraposée de la propriété d'ajout d'un vecteur). Ainsi $(f_1, \dots, f_p)$ est une base de $F$ : $F$ est de dimension finie et $\dim F = p \leq n$.

Si $\dim F = n$, une base de $F$ est une famille libre de $E$ à $n$ vecteurs, donc une base de $E$ ; elle engendre $E$, d'où $E \subset F$, puis $F = E$. La réciproque est évidente.

Soit $(e_1, \dots, e_p)$ une base de $F$. On la complète en une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ et on pose $G = \operatorname{Vect}(e_{p+1}, \dots, e_n)$. La famille $(e_{p+1}, \dots, e_n)$ est libre (sous-famille d'une famille libre), donc base de $G$, et la concaténation des bases de $F$ et $G$ est une base de $E$ : $E = F \oplus G$.

Si $G'$ est un supplémentaire quelconque de $F$, la propriété précédente donne $n = p + \dim G'$, donc $\dim G' = n - p$.

$F \cap G$ est un sous-espace de $G$, qui est de dimension finie : il admet un supplémentaire $H$ dans $G$, avec $G = (F \cap G) \oplus H$ et $\dim H = \dim G - \dim(F \cap G)$.

Montrons que $F + G = F \oplus H$.

• $F \cap H = F \cap G \cap H$ car $H \subset G$, et $(F \cap G) \cap H = \{0\}$. Donc $F \cap H = \{0\}$.
• $F + H \subset F + G$ car $H \subset G$.
• Soit $x = f + g$ avec $f \in F$, $g \in G$. On écrit $g = k + h$ avec $k \in F \cap G$ et $h \in H$. Alors $x = (f + k) + h \in F + H$.

Ainsi $F + G = F \oplus H$ est de dimension finie et $$\dim(F + G) = \dim F + \dim H = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G).$$

(1) entraîne (2) et (3) d'après la propriété sur les bases adaptées.

(2) $\Rightarrow$ (1) : par Grassmann, $\dim(F+G) = \dim F + \dim G - 0 = \dim E$. Comme $F + G \subset E$, on obtient $F + G = E$, et la somme est directe car $F \cap G = \{0\}$.

(3) $\Rightarrow$ (1) : par Grassmann, $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F+G) = \dim E - \dim E = 0$, donc $F \cap G = \{0\}$.

Notons $V = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$. La famille $(x_1, \dots, x_p)$ engendre $V$, donc $\dim V \leq p$, avec égalité si et seulement si c'est une base de $V$ (caractérisation par le cardinal), c'est-à-dire si et seulement si elle est libre.

Si $\dim E = n$, $V \subset E$ donne $\dim V \leq n$, avec égalité si et seulement si $V = E$, c'est-à-dire si la famille engendre $E$.

Unicité : si $u$ convient, la linéarité impose $u(\sum \lambda_i e_i) = \sum \lambda_i f_i$.

Existence : tout $x \in E$ s'écrit de façon unique $x = \sum \lambda_i e_i$, ce qui permet de définir $u(x) = \sum \lambda_i f_i$. Les coordonnées de $\alpha x + \beta y$ sont $\alpha \lambda_i + \beta \mu_i$, donc $u(\alpha x + \beta y) = \alpha u(x) + \beta u(y)$, et $u(e_i) = f_i$.

Pour $x = \sum \lambda_i e_i$, on a $u(x) = \sum \lambda_i u(e_i)$, d'où l'expression de $\operatorname{Im} u$, puis le point sur la surjectivité.

Si $u$ est injective et $\sum \lambda_i u(e_i) = 0$, alors $u(\sum \lambda_i e_i) = 0$, donc $\sum \lambda_i e_i = 0$ et tous les $\lambda_i$ sont nuls. Réciproquement, si la famille image est libre et $u(x) = 0$ avec $x = \sum \lambda_i e_i$, alors $\sum \lambda_i u(e_i) = 0$, donc les $\lambda_i$ sont nuls et $x = 0$ : $\operatorname{Ker} u = \{0\}$.

Le dernier point combine les deux premiers.

Si $u : E \to F$ est un isomorphisme et $(e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$, alors $(u(e_1), \dots, u(e_n))$ est une base de $F$, donc $F$ est de dimension finie et $\dim F = n$.

Réciproquement, si $\dim E = \dim F = n$, avec des bases $(e_i)$ et $(f_i)$, l'application linéaire définie par $u(e_i) = f_i$ envoie une base sur une base : c'est un isomorphisme.

Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. L'application $\Phi : \mathcal{L}(E,F) \to F^n$, $u \mapsto (u(e_1), \dots, u(e_n))$ est linéaire, et bijective d'après le théorème de détermination par l'image d'une base. Donc $\dim \mathcal{L}(E,F) = \dim F^n = n \dim F$ (dimension d'un produit).

$\operatorname{Im}(v \circ u) \subset \operatorname{Im} v$, d'où $\operatorname{rg}(v \circ u) \leq \operatorname{rg} v$. Par ailleurs $\operatorname{Im}(v \circ u) = v(\operatorname{Im} u)$ : si $(y_1, \dots, y_r)$ est une base de $\operatorname{Im} u$, alors $(v(y_1), \dots, v(y_r))$ engendre $v(\operatorname{Im} u)$, donc $\operatorname{rg}(v \circ u) \leq r = \operatorname{rg} u$.

Si $u$ est un isomorphisme, $\operatorname{Im} u = F$ et $\operatorname{Im}(v \circ u) = v(F) = \operatorname{Im} v$.

Si $v$ est un isomorphisme, $v$ est injective, donc la famille $(v(y_1), \dots, v(y_r))$ est libre (image d'une famille libre par une application injective) : c'est une base de $v(\operatorname{Im} u)$, de cardinal $r$.

L'application $w = u_{|S} : S \to \operatorname{Im} u$ est bien définie et linéaire.

Injectivité. Si $x \in S$ et $w(x) = 0$, alors $x \in S \cap \operatorname{Ker} u = \{0\}$.

Surjectivité. Soit $y \in \operatorname{Im} u$, $y = u(x)$ avec $x \in E$. On écrit $x = k + s$ avec $k \in \operatorname{Ker} u$ et $s \in S$. Alors $y = u(k) + u(s) = u(s) = w(s)$.

Si $E$ est de dimension finie, $\operatorname{Ker} u$ admet un supplémentaire $S$, avec $\dim S = \dim E - \dim \operatorname{Ker} u$. Comme $S$ et $\operatorname{Im} u$ sont isomorphes, $\operatorname{rg} u = \dim S = \dim E - \dim \operatorname{Ker} u$.

L'application $\varphi : F_1 \times \dots \times F_p \to E$, $(x_1, \dots, x_p) \mapsto x_1 + \dots + x_p$ est linéaire, d'image $F_1 + \dots + F_p$. Par définition, la somme est directe si et seulement si $\varphi$ est injective. Le théorème du rang et la dimension d'un produit donnent $$\dim(F_1 + \dots + F_p) = \sum_{i=1}^p \dim F_i - \dim \operatorname{Ker} \varphi,$$ d'où l'inégalité, avec égalité si et seulement si $\operatorname{Ker} \varphi = \{0\}$.

Par le théorème du rang, $\operatorname{rg} u = n - \dim \operatorname{Ker} u$. Donc $u$ injective $\iff \dim \operatorname{Ker} u = 0 \iff \operatorname{rg} u = n$. Comme $\operatorname{Im} u \subset F$ et $\dim F = n$, on a $\operatorname{rg} u = n \iff \operatorname{Im} u = F \iff u$ surjective. Ainsi (1), (2), (4) sont équivalentes, et chacune équivaut à (3), qui est la conjonction de (1) et (2).

Si $v \circ u = \mathrm{id}_E$ et $u(x) = 0$, alors $x = v(u(x)) = v(0) = 0$ : $u$ est injective, donc bijective par la caractérisation des isomorphismes. Alors $v = v \circ (u \circ u^{-1}) = (v \circ u) \circ u^{-1} = u^{-1}$.

Si $u \circ v = \mathrm{id}_E$, on applique ce qui précède en échangeant $u$ et $v$ : $v$ est bijective et $u = v^{-1}$, donc $u$ est bijective et $v = u^{-1}$.

Si $H = \operatorname{Ker} \varphi$ avec $\varphi \in E^*$ non nulle, $\operatorname{Im} \varphi$ est un sous-espace non nul de $\mathbb{K}$, donc égal à $\mathbb{K}$, et $\operatorname{rg} \varphi = 1$. Le théorème du rang donne $\dim H = n - 1$.

Réciproquement, si $\dim H = n-1$, on complète une base $(e_1, \dots, e_{n-1})$ de $H$ en une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ et on définit $\varphi \in E^*$ par $\varphi(e_i) = 0$ pour $i < n$ et $\varphi(e_n) = 1$. Alors $\varphi \neq 0$, $H \subset \operatorname{Ker} \varphi$ et $\dim \operatorname{Ker} \varphi = n - 1 = \dim H$, donc $H = \operatorname{Ker} \varphi$.

Proportionnalité : si $H = \operatorname{Ker} \varphi = \operatorname{Ker} \psi$, soit $a \notin H$ ; alors $E = H \oplus \mathbb{K} a$ (dimensions $n-1$ et $1$, intersection nulle). La forme $\psi - \frac{\psi(a)}{\varphi(a)} \varphi$ est nulle sur $H$ et en $a$, donc sur $E$.

Par Grassmann, $\dim(F \cap H) = \dim F + \dim H - \dim(F + H) \geq \dim F + (n-1) - n = \dim F - 1$, car $\dim(F + H) \leq n$.

Pour $H_1, \dots, H_m$, on montre par récurrence sur $k$ que $\dim(H_1 \cap \dots \cap H_k) \geq n - k$ : c'est vrai pour $k = 1$, et l'inégalité précédente appliquée à $F = H_1 \cap \dots \cap H_k$ et $H = H_{k+1}$ donne l'hérédité.

Chaque équation non triviale du système définit un hyperplan de $\mathbb{K}^n$ ; une équation identiquement nulle définit $\mathbb{K}^n$ tout entier, ce qui ne fait qu'améliorer la minoration.