Prépa · MPSI / MP2I

Fiche résumé : Dimension finie (Prépa, 1re année)

Ce chapitre associe à un espace vectoriel un entier, sa dimension, qui mesure le nombre de paramètres indépendants nécessaires pour décrire ses vecteurs. Il permet de démontrer qu'une famille est une base, qu'une somme est directe ou qu'une application linéaire est bijective par un simple comptage, sans calcul.

Dimension finie : $E$ admet une famille génératrice finie. $\mathbb{K}[X]$ est de dimension infinie.
Base incomplète : toute famille libre se complète en base à l'aide de vecteurs d'une famille génératrice donnée. De toute famille génératrice finie on extrait une base.
Lemme fondamental : dans un espace engendré par $n$ vecteurs, toute famille de $n+1$ vecteurs est liée.
Dimension : cardinal commun des bases. $\dim \mathbb{K}^n = n$, $\dim \mathbb{K}_n[X] = n+1$, $\dim \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) = np$, $\dim(E \times F) = \dim E + \dim F$, $\dim \mathcal{L}(E,F) = \dim E \dim F$.
En dimension $n$ : libre $\Rightarrow$ au plus $n$ vecteurs ; génératrice $\Rightarrow$ au moins $n$ vecteurs ; $n$ vecteurs libres ou générateurs $\Rightarrow$ base.
Sous-espace : $F \subset E \Rightarrow \dim F \leq \dim E$, et $F = E \iff \dim F = \dim E$ (inclusion indispensable).
Supplémentaires : tout sous-espace de dimension $p$ admet un supplémentaire, de dimension $n - p$, non unique.
Grassmann : $\dim(F+G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)$.
Supplémentaires par la dimension : $E = F \oplus G \iff F \cap G = \{0\}$ et $\dim F + \dim G = \dim E$.
Plusieurs sous-espaces : $\dim(\sum F_i) \leq \sum \dim F_i$, égalité $\iff$ somme directe.
Rang d'une famille : $\operatorname{rg}(x_1, \dots, x_p) = \dim \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq p$, égalité $\iff$ libre. Invariant par opérations élémentaires ; calcul par échelonnement.
Image d'une base : une application linéaire est déterminée par l'image d'une base ; $u$ injective (surjective, bijective) $\iff$ l'image d'une base est libre (génératrice, une base).
Espaces isomorphes $\iff$ même dimension.
Rang de $u$ : $\operatorname{rg} u = \dim \operatorname{Im} u$ ; $\operatorname{rg}(v \circ u) \leq \min(\operatorname{rg} u, \operatorname{rg} v)$ ; composer par un isomorphisme conserve le rang.
Théorème du rang : tout supplémentaire de $\operatorname{Ker} u$ est isomorphe à $\operatorname{Im} u$ ; $\dim E = \dim \operatorname{Ker} u + \operatorname{rg} u$ ($E$ = espace de départ).
Isomorphismes : si $\dim E = \dim F$ finie, $u$ injective $\iff$ surjective $\iff$ bijective $\iff \operatorname{rg} u = \dim E$. Dans $\mathcal{L}(E)$, $v \circ u = \mathrm{id} \Rightarrow v = u^{-1}$. Faux en dimension infinie.
Hyperplans : en dimension $n$, hyperplan $\iff$ sous-espace de dimension $n - 1$ ; équation $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0$ unique à un facteur non nul près ; $m$ hyperplans se coupent selon un sous-espace de dimension au moins $n - m$.