Erreurs fréquentes : Ensembles et applications (Prépa, 1re année)
Ce chapitre fixe le langage dans lequel s'écrivent toutes les mathématiques de la prépa : parties d'un ensemble, applications, injectivité, surjectivité, relations. Il apprend aussi à rédiger les raisonnements les plus courants : double inclusion, recherche d'antécédents, vérification d'une relation d'équivalence ou d'ordre.
Écrire $a \subset E$ ou $\{a\} \in E$ au lieu de $a \in E$, ou affirmer $\varnothing \in E$ pour tout ensemble $E$.
$\in$ relie un élément à un ensemble, $\subset$ relie deux ensembles. On a toujours $\varnothing \subset E$ et $\varnothing \in \mathcal{P}(E)$, mais $\varnothing \in E$ n'est vrai que si $\varnothing$ est un des éléments de $E$.
Croire que $f(A \cap A') = f(A) \cap f(A')$ ou que $f^{-1}(f(A)) = A$ pour toute application.
On a seulement $f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')$ et $A \subset f^{-1}(f(A))$. Contre-exemple avec $x \mapsto x^2$ : $f([-2,-1] \cap [1,2]) = \varnothing$ alors que $f([-2,-1]) \cap f([1,2]) = [1,4]$. En revanche l'image réciproque respecte toutes les opérations.
Écrire $f^{-1}(y)$ ou utiliser $f^{-1}$ comme une application alors que $f$ n'est pas bijective.
Pour une application quelconque, seule l'image réciproque d'une partie $f^{-1}(B)$ a un sens. L'ensemble des antécédents de $y$ s'écrit $f^{-1}(\{y\})$ ; il peut être vide ou contenir plusieurs éléments.
Pour prouver l'injectivité, vérifier que $x = x' \Rightarrow f(x) = f(x')$.
Cette implication est vraie pour toute application. L'injectivité est l'implication inverse : $f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'$, ou sa contraposée $x \neq x' \Rightarrow f(x) \neq f(x')$.
Mal nier l'injectivité en écrivant « pour tous $x \neq x'$, $f(x) = f(x')$ ».
La négation de $\forall (x,x'),\ (f(x) = f(x') \Rightarrow x = x')$ est $\exists (x, x'),\ f(x) = f(x') \text{ et } x \neq x'$ : un seul contre-exemple suffit.
Discuter de la surjectivité ou de la bijectivité d'une formule sans préciser les ensembles de départ et d'arrivée.
La même formule $x \mapsto x^2$ est bijective de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}_+$ mais ni injective ni surjective de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Une application est la donnée de $E$, $F$ et de la formule.
Écrire $(g \circ f)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$, ou supposer $g \circ f = f \circ g$.
La composition n'est pas commutative. Pour défaire « $f$ puis $g$ », on défait d'abord $g$ puis $f$ : $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.
Confondre antisymétrique et « non symétrique », ou oublier de vérifier la réflexivité d'une relation d'ordre.
Antisymétrie : $x \,\mathcal{R}\, y$ et $y \,\mathcal{R}\, x$ impliquent $x = y$. L'égalité est symétrique et antisymétrique. La divisibilité est antisymétrique sur $\mathbb{N}$ mais pas sur $\mathbb{Z}$, et $<$ n'est pas une relation d'ordre car non réflexive.