Fiche résumé : Ensembles et applications (Prépa, 1re année)

Ce chapitre fixe le langage dans lequel s'écrivent toutes les mathématiques de la prépa : parties d'un ensemble, applications, injectivité, surjectivité, relations. Il apprend aussi à rédiger les raisonnements les plus courants : double inclusion, recherche d'antécédents, vérification d'une relation d'équivalence ou d'ordre.

$A \subset B \iff \forall x,\ (x \in A \Rightarrow x \in B)$ ; $A = B \iff A \subset B$ et $B \subset A$ (double inclusion).
$A \in \mathcal{P}(E) \iff A \subset E$ ; si $\mathrm{card}\, E = n$, $\mathrm{card}\, \mathcal{P}(E) = 2^n$.
De Morgan : $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$, $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$, et de même pour les familles.
$A \setminus B = A \cap \overline{B}$ ; distributivité de $\cap$ sur $\cup$ et de $\cup$ sur $\cap$.
$\bigcup_{i} A_i$ : $\exists i$ ; $\bigcap_i A_i$ : $\forall i$.
Partition : parties non vides, deux à deux disjointes, de réunion $E$.
$\mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B$, $\mathbf{1}_{\overline{A}} = 1 - \mathbf{1}_A$, $\mathbf{1}_{A \cup B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B$.
$f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}$ ; $f^{-1}(B) = \{x \in E \mid f(x) \in B\}$, défini pour toute $f$.
$f(A \cup A') = f(A) \cup f(A')$, $f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')$ ; $f^{-1}$ respecte $\cup$, $\cap$, complémentaire.
$A \subset f^{-1}(f(A))$ et $f(f^{-1}(B)) \subset B$.
Injective : $f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'$ (au plus un antécédent). Surjective : $\forall y,\ \exists x,\ y = f(x)$ (au moins un). Bijective : exactement un.
$f$ bijective $\iff \exists g,\ g \circ f = \mathrm{id}_E$ et $f \circ g = \mathrm{id}_F$ ; alors $g = f^{-1}$.
Composée d'injections (surjections, bijections) : injective (surjective, bijective) ; $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.
$g \circ f$ injective $\Rightarrow f$ injective ; $g \circ f$ surjective $\Rightarrow g$ surjective.
Équivalence : réflexive, symétrique, transitive. $x \sim y \iff \overline{x} = \overline{y}$ ; les classes forment une partition de $E$.
Ordre : réflexive, antisymétrique, transitive. Total si deux éléments sont toujours comparables, partiel sinon. Exemples : $\leq$ sur $\mathbb{R}$ (total), $\subset$ sur $\mathcal{P}(E)$ et $|$ sur $\mathbb{N}$ (partiels).
Plus grand élément = majorant appartenant à la partie ; s'il existe, il est unique.