QCM : Ensembles et applications (Prépa, 1re année)
Ce chapitre fixe le langage dans lequel s'écrivent toutes les mathématiques de la prépa : parties d'un ensemble, applications, injectivité, surjectivité, relations. Il apprend aussi à rédiger les raisonnements les plus courants : double inclusion, recherche d'antécédents, vérification d'une relation d'équivalence ou d'ordre.
Soit $E = \{1, 2\}$. Laquelle de ces affirmations est vraie ?
$\varnothing \subset E$, donc $\varnothing \in \mathcal{P}(E)$. Les éléments de $E$ sont $1$ et $2$, pas $\{1\}$ : on a $\{1\} \subset E$, et non $\{1\} \in E$. De même, $\{1\} \subset \mathcal{P}(E)$ exigerait $1 \in \mathcal{P}(E)$, ce qui est faux : c'est $\{1\} \in \mathcal{P}(E)$ qu'il faut écrire. Enfin, $1 \subset E$ n'a pas de sens. Le piège principal est la confusion entre $\in$ et $\subset$.
Quel est le nombre d'éléments de $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))$ ?
On a $\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\}$, qui possède un élément. Ses parties sont $\varnothing$ et $\{\varnothing\}$, donc $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ a $2^1 = 2$ éléments. Répondre $0$ revient à croire que $\mathcal{P}(\varnothing)$ est vide. Répondre $1$ revient à oublier que la partie vide compte toujours.
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$. Que vaut $f^{-1}(f([1, 2]))$ ?
On a $f([1, 2]) = [1, 4]$, puis $f^{-1}([1, 4]) = \{x \mid 1 \leq |x| \leq 2\} = [-2, -1] \cup [1, 2]$. Répondre $[1, 2]$, c'est croire que $f^{-1}(f(A)) = A$ : on a seulement $A \subset f^{-1}(f(A))$. Répondre $[-2, 2]$, c'est oublier la contrainte $x^2 \geq 1$. Répondre $[1, 4]$, c'est s'arrêter à l'image directe.
Soit $f : E \to F$. Quelle phrase signifie « $f$ n'est pas injective » ?
L'injectivité s'écrit $\forall (x, x'),\ (f(x) = f(x') \Rightarrow x = x')$. Sa négation transforme $\forall$ en $\exists$, et la négation de $P \Rightarrow Q$ est « $P$ et non $Q$ ». Un seul couple contre-exemple suffit donc. Garder le $\forall$ est l'erreur la plus courante. La troisième phrase est toujours fausse, car $x = x'$ entraîne $f(x) = f(x')$.
Soit $f : E \to F$ et $g : F \to G$ telles que $g \circ f$ est injective. Que peut-on affirmer en général ?
Si $f(x) = f(x')$, alors $g(f(x)) = g(f(x'))$, donc $x = x'$ par injectivité de $g \circ f$ : $f$ est injective. Rien ne force $g$ à l'être. Avec $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N},\ n \mapsto 2n$ et $h : n \mapsto \lfloor n/2 \rfloor$, on a $h \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{N}}$ injective, alors que $h$ n'est pas injective et $g$ n'est pas surjective. Le piège est d'inverser les rôles avec le résultat sur la surjectivité, qui porte sur $g$.
Soit $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux bijections. À quoi est égale $(g \circ f)^{-1}$ ?
On vérifie que $(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_E$ et que $(g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = \mathrm{id}_G$. Pour défaire « $f$ puis $g$ », on défait d'abord $g$, puis $f$. L'écriture $g^{-1} \circ f^{-1}$ n'a même pas de sens en général, car $f^{-1}$ arrive dans $E$ et non dans $G$. La notation $\frac{1}{g \circ f}$ confond la réciproque avec l'inverse pour la multiplication.
Laquelle de ces applications est bijective ?
Pour tout $(a, b)$, le système $x + y = a$, $x - y = b$ a l'unique solution $\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a-b}{2}\right)$ : l'application est bijective. La fonction carré de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}_+$ est surjective mais pas injective, car $(-1)^2 = 1^2$. L'application $n \mapsto 2n$ est injective, mais $1$ n'a pas d'antécédent. L'exponentielle de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ n'atteint pas $-1$. Le piège est de juger sur la formule en oubliant l'ensemble d'arrivée.
Sur $\mathbb{Z}$, laquelle de ces relations est une relation d'équivalence ?
La relation « $a - b$ est pair » est la congruence modulo $2$. Elle est réflexive ($0$ est pair), symétrique ($b - a = -(a - b)$) et transitive (somme de deux pairs). La relation $\leq$ n'est pas symétrique, et la divisibilité non plus ($1 \mid 2$ mais $2 \nmid 1$). La relation $|a - b| \leq 1$ est réflexive et symétrique mais pas transitive : $0 \sim 1$ et $1 \sim 2$, alors que $0 \not\sim 2$. On oublie souvent de vérifier la transitivité.
Que peut-on dire de la divisibilité $\mid$ ?
Sur $\mathbb{Z}$, on a $2 \mid -2$ et $-2 \mid 2$ avec $2 \neq -2$ : l'antisymétrie échoue, donc ce n'est pas une relation d'ordre sur $\mathbb{Z}$. Elle est pourtant transitive : si $b = ka$ et $c = \ell b$, alors $c = (\ell k)a$. Sur $\mathbb{N}$, c'est un ordre, mais partiel, puisque $2$ et $3$ ne sont pas comparables. Le piège est de transposer à $\mathbb{Z}$ ce qui est vrai sur $\mathbb{N}$.
Pour la congruence modulo $3$ sur $\mathbb{Z}$, quelle est la classe d'équivalence $\overline{-2}$ ?
On a $1 - (-2) = 3$, donc $-2 \equiv 1 \ [3]$ et $\overline{-2} = \overline{1} = \{3k + 1 \mid k \in \mathbb{Z}\}$. En effet $-2 = 3 \times (-1) + 1$ : le reste de la division euclidienne est $1$, et non $2$. Répondre $\{3k + 2\}$, c'est lire le reste sur la valeur absolue. Une classe n'est pas réduite à son représentant. Elle est ici infinie, donc la liste $\{-2, 1, 4\}$ est incomplète.