Erreurs fréquentes : Espaces préhilbertiens réels (Prépa, 1re année)
Ce chapitre ajoute à l'algèbre linéaire une notion de longueur et d'angle droit, grâce au produit scalaire. Il permet de résoudre des problèmes d'approximation (meilleure approximation d'une fonction par un polynôme, distance d'un point à un plan, moindres carrés) par une construction géométrique unique : la projection orthogonale.
Ne vérifier que la positivité d'un produit scalaire et oublier le caractère défini, ou le justifier par « une intégrale de carré nulle donne une fonction nulle » sans évoquer la continuité.
Le caractère défini demande un argument précis : fonction continue, positive, d'intégrale nulle sur un segment, donc nulle ; puis, pour des polynômes, infinité de racines donc polynôme nul. Sans continuité, l'argument est faux.
Appliquer $p_F(x)=\sum\langle f_i,x\rangle f_i$ avec une base $(f_i)$ de $F$ qui n'est pas orthonormée.
Cette formule exige une base orthonormée. Avec une base orthogonale, il faut diviser par $\|f_i\|^2$ ; avec une base quelconque, résoudre le système $\langle x-p_F(x),f_i\rangle=0$ pour tout $i$.
Dans Gram-Schmidt, retrancher les projections sur les $v_i$ d'origine au lieu des $e_i$ déjà construits, ou oublier de normaliser.
On écrit $w_k=v_k-\sum_{i<k}\langle e_i,v_k\rangle e_i$ avec les $e_i$ orthonormés, puis $e_k=w_k/\|w_k\|$. Contrôler à chaque étape que $\langle e_k,e_i\rangle=0$.
Écrire $E=F\oplus F^\perp$ ou $(F^\perp)^\perp=F$ pour un sous-espace $F$ de dimension infinie.
$E=F\oplus F^\perp$ est garanti lorsque $F$ est de dimension finie ; $(F^\perp)^\perp=F$ lorsque $E$ est euclidien. En général on a seulement $F\cap F^\perp=\{0\}$ et $F\subset(F^\perp)^\perp$.
Confondre le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz ($|\langle x,y\rangle|=\|x\|\|y\|$ ssi famille liée) avec celui de l'inégalité triangulaire.
Pour l'inégalité triangulaire, l'égalité exige des vecteurs positivement colinéaires : $y=0$ ou $x=\lambda y$ avec $\lambda\geqslant0$. Par exemple $x=-y\neq0$ donne l'égalité dans Cauchy-Schwarz mais $\|x+y\|=0<2\|x\|$.
Déduire de $\|x_1+x_2+x_3\|^2=\|x_1\|^2+\|x_2\|^2+\|x_3\|^2$ que la famille est orthogonale.
La réciproque de Pythagore ne vaut que pour deux vecteurs. Pour trois vecteurs ou plus, il faut vérifier chaque produit scalaire $\langle x_i,x_j\rangle$, $i\neq j$.
Donner $d(x,F)=\|p_F(x)\|$.
La distance est la longueur de la composante orthogonale : $d(x,F)=\|x-p_F(x)\|$, et $d(x,F)^2=\|x\|^2-\|p_F(x)\|^2$.
Croire que tout supplémentaire de $F$ est son orthogonal, ou qu'un sous-espace orthogonal à $F$ est forcément égal à $F^\perp$.
$F^\perp$ est l'unique supplémentaire de $F$ orthogonal à $F$. Un sous-espace $G$ orthogonal à $F$ vérifie seulement $G\subset F^\perp$ ; pour conclure $G=F^\perp$ en dimension finie, il faut $\dim G=\dim E-\dim F$.