QCM : Espaces préhilbertiens réels (Prépa, 1re année)
Ce chapitre ajoute à l'algèbre linéaire une notion de longueur et d'angle droit, grâce au produit scalaire. Il permet de résoudre des problèmes d'approximation (meilleure approximation d'une fonction par un polynôme, distance d'un point à un plan, moindres carrés) par une construction géométrique unique : la projection orthogonale.
Laquelle de ces applications définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}_2[X]$ ?
Avec trois points, $\varphi(P,P)=0$ impose que $P$, de degré au plus $2$, ait trois racines, donc $P=0$. Bilinéarité, symétrie et positivité sont immédiates. Avec deux points seulement, $X(X-1)$ est non nul et vérifie $\varphi(P,P)=0$. Avec les dérivées, tout polynôme constant non nul donne $0$. La dernière forme est symétrique mais pas positive : pour $P=X-\frac12$, $\varphi(P,P)=2\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\frac12=-\frac12<0$. Le piège classique consiste à oublier de vérifier le caractère défini.
Soit $x,y$ deux vecteurs d'un espace préhilbertien réel. À quelle condition a-t-on $|\langle x,y\rangle|=\|x\|\,\|y\|$ ?
C'est le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz : la valeur absolue autorise un coefficient de colinéarité de signe quelconque. Par exemple $x=-y$ donne bien l'égalité. La condition de colinéarité positive est celle du cas d'égalité de l'inégalité triangulaire, que l'on confond souvent avec celui-ci. L'orthogonalité donne au contraire $\langle x,y\rangle=0$.
Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, on note $D=\operatorname{Vect}(u)$ avec $u=(1,1,0)$. Que vaut la projection orthogonale de $x=(1,2,3)$ sur $D$ ?
On a $p_D(x)=\dfrac{\langle u,x\rangle}{\|u\|^2}u$, avec $\langle u,x\rangle=3$ et $\|u\|^2=2$, d'où $\frac32(1,1,0)$. Le choix $(3,3,0)$ vient de l'oubli de la division par $\|u\|^2$ : on a appliqué la formule des bases orthonormées à un vecteur non unitaire. Diviser par $\|u\|$ au lieu de $\|u\|^2$ donne le deuxième choix. Le vecteur $\left(-\frac12,\frac12,3\right)$ est $x-p_D(x)$, la composante orthogonale à $D$.
Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, quelle est la distance du point $a=(1,0,2)$ au plan $H$ d'équation $x+y+z=0$ ?
Avec le vecteur normal $u=(1,1,1)$, on a $d(a,H)=\dfrac{|\langle u,a\rangle|}{\|u\|}=\dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$. Le choix $3$ oublie la division par $\|u\|$. Le choix $1$ divise par $\|u\|^2$ : on confond alors la distance avec le coefficient de projection. Le choix $\sqrt2$ est $\|p_H(a)\|=\|(0,-1,1)\|$, la norme du projeté et non la distance.
Dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ muni de $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^\top B)$, quel est l'orthogonal de la droite $\operatorname{Vect}(I_n)$ ?
On a $\langle I_n,B\rangle=\operatorname{tr}(B)$, donc $B\in\operatorname{Vect}(I_n)^\perp\iff\operatorname{tr}(B)=0$. C'est un hyperplan, de dimension $n^2-1$, ce qui est cohérent avec $\dim F^\perp=n^2-\dim F$. Les antisymétriques forment l'orthogonal des symétriques, pas celui de $\operatorname{Vect}(I_n)$ : elles sont bien orthogonales à $I_n$, mais l'ensemble est trop petit. Les matrices de diagonale nulle sont aussi de trace nulle, mais elles ne les décrivent pas toutes.
Dans $\mathbb{R}_1[X]$ muni de $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t$, on orthonormalise la famille $(1,X)$ par le procédé de Gram-Schmidt. Quel est le second vecteur $e_2$ obtenu ?
On a $e_1=1$, car $\|1\|=1$. Ensuite $w_2=X-\langle 1,X\rangle\cdot 1=X-\frac12$, et $\|w_2\|^2=\int_0^1\left(t-\frac12\right)^2\mathrm{d}t=\frac1{12}$. Donc $e_2=\sqrt{12}\left(X-\frac12\right)=\sqrt3(2X-1)$. Le choix $X-\frac12$ oublie la normalisation. Le choix $\sqrt3X$ normalise $X$ sans lui retirer sa composante sur $e_1$. Le dernier choix a une norme au carré égale à $\frac14$ : il provient d'une erreur de normalisation, avec une division par $\frac1{12}$ mal effectuée.
Dans un espace préhilbertien réel, laquelle de ces affirmations est toujours vraie ?
On a $\|x-y\|^2=\|x\|^2-2\langle x,y\rangle+\|y\|^2$, ce qui donne le résultat puisque $\langle x,y\rangle=0$. La réciproque de Pythagore ne vaut que pour deux vecteurs : avec $(1,0)$, $(0,1)$ et $(1,-1)$, l'égalité est vraie sans que la famille soit orthogonale. Pythagore porte sur les carrés des normes, pas sur les normes elles-mêmes. Enfin, une famille orthogonale contenant le vecteur nul n'est pas libre.
Soit $F$ un sous-espace de dimension finie d'un espace préhilbertien réel $E$, et $x\in E$. Que vaut $d(x,F)^2$ ?
On écrit $x=p_F(x)+(x-p_F(x))$ avec deux termes orthogonaux. Par Pythagore, $\|x\|^2=\|p_F(x)\|^2+\|x-p_F(x)\|^2$, et $d(x,F)=\|x-p_F(x)\|$. Confondre la distance avec la norme du projeté est l'erreur la plus fréquente. Le deuxième choix applique Pythagore aux normes au lieu de leurs carrés.
Que vaut $\displaystyle\min_{a\in\mathbb{R}}\int_0^1(t-a)^2\,\mathrm{d}t$ ?
C'est $d(X,\operatorname{Vect}(1))^2$ pour le produit scalaire $\int_0^1PQ$. Le projeté est $\langle 1,X\rangle\cdot1=\frac12$, donc le minimum vaut $\|X\|^2-\|\tfrac12\|^2=\frac13-\frac14=\frac1{12}$. Le choix $\frac13$ correspond à $a=0$, qui n'est pas optimal. Le choix $\frac14$ est $\|p_F(X)\|^2$, et non le carré de la distance. Le minimum ne peut pas être nul, car $t\mapsto t-a$ n'est jamais la fonction nulle.
Soit $F$ un sous-espace quelconque, éventuellement de dimension infinie, d'un espace préhilbertien réel $E$. Laquelle de ces propriétés est toujours vraie ?
Si $x\in F$, alors $x$ est orthogonal à tout vecteur de $F^\perp$, donc $x\in(F^\perp)^\perp$. Les trois autres propriétés peuvent échouer en dimension infinie. Dans $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ avec $F=\{f : f(0)=0\}$, on a $F\neq E$ mais $F^\perp=\{0\}$. On en déduit $F\oplus F^\perp=F\neq E$ et $(F^\perp)^\perp=E\neq F$. Le piège consiste à appliquer les résultats valables en dimension finie sans vérifier l'hypothèse.